Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34325	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34325
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:
$x^{2} - x + λ - λ^{2} = 0$ , με παράμετρο $λ \in R (1)$

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα $Δ$ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε $λ \in R$ .
(Μονάδες 10)

β) Για ποια τιμή του $λ$ η εξίσωση $(1)$ έχει δύο άνισες ρίζες;
(Μονάδες 6)

γ) Αν $x_{1}$ , $x_{2}$ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης $(1)$ , να βρείτε για ποιες τιμές του $λ$ ισχύει $0 < d (x_{1}, x_{2}) < 2$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} - x + (λ - λ^{2})$ έχει $α = 1$ , $β = - 1$ , $γ = λ - λ^{2}$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (λ - λ^{2})$ $= 1 - 4 λ + 4 λ^{2}$ $= (1 - 2 λ)^{2} \geq 0, για κάθε λ \in R$

Επειδή $Δ \geq 0$ , για κάθε $λ \in R$ , η εξίσωση $x^{2} - x + λ - λ^{2}$ = 0 έχει πραγματικές ρίζες.

β) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:

$Δ > 0$ $\Leftrightarrow (1 - 2 λ)^{2} > 0$ $\Leftrightarrow 1 - 2 λ \neq 0$ $\Leftrightarrow λ \neq \frac{1}{2}$

γ) Οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$ είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(1 - 2 λ)^{2}}}{2}$ $= \frac{1 \pm (1 - 2 λ)}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{1 + 1 - 2 λ}{2} = 1 - λ \\ \frac{1 - 1 + 2 λ}{2} = λ \end{cases}$

Έχουμε ότι:

$0 < d (x_{1}, x_{2}) < 2$ $\Leftrightarrow 0 < | x_{1} - x_{2} | < 2$ $\Leftrightarrow 0 < | 1 - λ - λ | < 2$ $\Leftrightarrow 0 < | 1 - 2 λ | < 2$

Δηλαδή:

$0 < | 1 - 2 λ |$ $\Leftrightarrow 1 - 2 λ \neq 0$ $\Leftrightarrow 2 λ \neq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow λ \neq \frac{1}{2}$

και:

$| 1 - 2 λ | < 2$ $\Leftrightarrow - 2 < 1 - 2 λ < 2$ $\Leftrightarrow - 3 < - 2 λ < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} < λ < \frac{3}{2}$

Οπότε, τελικά:

$λ \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).