Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34325 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34325 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση:
\(x^{2}-x+λ-λ^{2}=0\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\ \ \ \ (1)\)
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα \(Δ\) της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\).
(Μονάδες 10)
β) Για ποια τιμή του \(λ\) η εξίσωση \((1)\) έχει δύο άνισες ρίζες;
(Μονάδες 6)
γ) Αν \(x_{1}\), \(x_{2}\) οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης \((1)\), να βρείτε για ποιες τιμές του \(λ\) ισχύει \(0 < d(x_{1},x_{2}) < 2\).
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=λ-λ^{2}\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-λ^{2})$$ $$=1-4λ+4λ^{2}$$ $$=(1-2λ)^{2}\ge 0,\ \ \text{για κάθε}\ λ\in \mathbb{R}$$
Επειδή \(Δ\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\), η εξίσωση \(x^{2}-x+λ-λ^{2}\) = 0 έχει πραγματικές ρίζες.
β) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:
$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne \dfrac{1}{2}$$
γ) Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι οι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(1-2λ)^{2}}}{2}$$ $$=\dfrac{1\pm (1-2λ)}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1+1-2λ}{2}=1-λ \\ \dfrac{1-1+2λ}{2}=λ \end{cases}$$
Έχουμε ότι:
$$0 < d(x_{1}, x_{2}) < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |x_{1}-x_{2}| < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |1-λ-λ| < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |1-2λ| < 2 $$
Δηλαδή:
$$0<|1-2λ| $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ\ne \dfrac{1}{2} $$ $$\Leftrightarrow λ\ne \dfrac{1}{2}$$
και:
$$|1-2λ|<2 $$ $$\Leftrightarrow -2<1-2λ<2 $$ $$\Leftrightarrow -3<-2λ<1 $$ $$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<λ<\dfrac{3}{2}$$
Οπότε, τελικά:
$$λ\in (-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})\cup (\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).