Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34387	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34387
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ ( $Α Β = Α Γ$ ) και οι διχοτόμοι του $Β Δ$ και $Γ Ε$ των γωνιών $Β$ και $Γ$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $Β Γ Δ$ και $Γ Β Ε$ είναι ίσα.
(Μονάδες 13)

β) Έστω $Ε Η$ και $Δ Ζ$ οι κάθετες από τα σημεία $Ε$ και $Δ$ αντίστοιχα στη $Β Γ$ . Να αποδείξετε ότι
$Ε Η = Δ Ζ$ .
(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ με $Α Β = Α Γ$ και $Β Δ$ , $Γ Ε$ διχοτόμοι των γωνιών του $Β$ , $Γ$ αντίστοιχα.

α) Τα τρίγωνα $Β Γ Δ$ και $Γ Β Ε$ έχουν:

$Β Γ$ κοινή πλευρά
$\hat{Β} = \hat{Γ}$ γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου
$\hat{Β_{1}} = \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{Γ}}{2} = \hat{Γ_{1}}$ ως μισά των ίσων γωνιών $Β$ και $Γ$ του ισοσκελούς τριγώνου $Α Β Γ$ .

Τα τρίγωνα $Β Γ Δ$ και $Γ Β Ε$ είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία ( $Γ Π Γ$ ).

β) Έστω $Ε Η$ και $Δ Ζ$ οι κάθετες στην πλευρά $Β Γ$ .

Από το α) ερώτημα τα τρίγωνα $Β Γ Δ$ και $Γ Β Ε$ είναι ίσα, άρα θα είναι ίσες και οι πλευρές τους $Β Ε$ και $Γ Δ$ που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Γ_{1}}$ και $\hat{Β_{1}}$ αντίστοιχα. $(1)$

Τα τρίγωνα $Ε Β Η$ και $Δ Ζ Γ$ έχουν:

$\hat{Η} = \hat{Ζ} = 90^{0}$ (αφού $Ε Η$ και $Δ Ζ$ είναι κάθετες στη $Β Γ$ )
$\hat{Β} = \hat{Γ}$ (ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου $Α Β Γ$ )
$B E = Γ Δ$ από $(1)$

Άρα είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Οπότε είναι και $E H = Δ Z$ ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Β}$ και $\hat{Γ}$ αντίστοιχα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).