Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34390 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 34390 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 05-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις \(κ\) και \(λ\) του οποίου η περίμετρος είναι \(Π=14 \ cm\) και μια διαγώνιος \(δ=5 \ cm\).
α)
Με χρήση της ταυτότητας \((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\), να δείξετε ότι για το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ισχύει \(Ε=12 \ cm^{2}\).
(Μονάδες 7)Να αιτιολογήσετε γιατί οι διαστάσεις \(κ\) και \(λ\) του ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}-7x+12=0\).
(Μονάδες 7)Να βρείτε τις διαστάσεις \(κ\) και \(λ\) του ορθογωνίου.
(Μονάδες 4)
β) Να δείξετε ότι ένα ορθογώνιο με περίμετρο \(Π=14 \ cm\) πρέπει να έχει εμβαδόν \(Ε\le \dfrac{49}{4}\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(Π=2κ+2λ\), οπότε:
$$2κ+2λ=14 $$ $$\Leftrightarrow κ+λ=7$$
Επίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) βρίσκουμε ότι
$$κ^{2}+λ^{2}=δ^{2} $$ $$\Leftrightarrow κ^{2}+λ^{2}=25$$
Από την ταυτότητα \((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\), έχουμε ότι:
$$7^{2}=25+2κλ $$ $$\Leftrightarrow 2κλ=49-25 $$ $$\Leftrightarrow κλ=12$$
Άρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \(Ε=κλ=12\ cm\).
Δύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}-7x+12=0\) αν και μόνο αν έχουν άθροισμα \(S=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{(-7)}{1}=7\) και γινόμενο \(P=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{12}{1}=12\). Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις \(κ\) και \(λ\) ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.
Το τριώνυμο \(x^{2}-7x+12\) έχει διακρίνουσα
$$Δ=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12$$ $$=49-48=1$$
και ρίζες
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{7+1}{2}=4 \\ \dfrac{7-1}{2}=3 \end{cases}$$
Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(3\ cm\) και \(4\ cm\).
β) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο \(Π=14\) και εμβαδόν \(Ε\) έχουν άθροισμα \(S=7\) και γινόμενο \(P=Ε\). Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης
$$x^{2}-7x+E=0$$
Η εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει
$$Δ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (-7)^{2}-4\cdot 1\cdot Ε\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 49-4Ε\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow Ε\le \dfrac{49}{4}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).