Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34390	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34390
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις $κ$ και $λ$ του οποίου η περίμετρος είναι $Π = 14 c m$ και μια διαγώνιος $δ = 5 c m$ .

α)

Με χρήση της ταυτότητας $(κ + λ)^{2} = κ^{2} + 2 κ λ + λ^{2}$ , να δείξετε ότι για το εμβαδόν $Ε$ του ορθογωνίου ισχύει $Ε = 12 c m^{2}$ .
(Μονάδες 7)
Να αιτιολογήσετε γιατί οι διαστάσεις $κ$ και $λ$ του ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
(Μονάδες 7)
Να βρείτε τις διαστάσεις $κ$ και $λ$ του ορθογωνίου.
(Μονάδες 4)

β) Να δείξετε ότι ένα ορθογώνιο με περίμετρο $Π = 14 c m$ πρέπει να έχει εμβαδόν $Ε \leq \frac{49}{4}$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $Π = 2 κ + 2 λ$ , οπότε:

$2 κ + 2 λ = 14$ $\Leftrightarrow κ + λ = 7$

Επίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $Α Β Δ$ βρίσκουμε ότι

$κ^{2} + λ^{2} = δ^{2}$ $\Leftrightarrow κ^{2} + λ^{2} = 25$

Από την ταυτότητα $(κ + λ)^{2} = κ^{2} + 2 κ λ + λ^{2}$ , έχουμε ότι:

$7^{2} = 25 + 2 κ λ$ $\Leftrightarrow 2 κ λ = 49 - 25$ $\Leftrightarrow κ λ = 12$

Άρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι $Ε = κ λ = 12 c m$ .

Δύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ αν και μόνο αν έχουν άθροισμα $S = - \frac{β}{α} = - \frac{(- 7)}{1} = 7$ και γινόμενο $P = \frac{γ}{α} = \frac{12}{1} = 12$ . Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις $κ$ και $λ$ ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.
Το τριώνυμο $x^{2} - 7 x + 12$ έχει διακρίνουσα

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12$ $= 49 - 48 = 1$

και ρίζες

$x_{1,2} = \frac{- (- 7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$ $= {\begin{cases} \frac{7 + 1}{2} = 4 \\ \frac{7 - 1}{2} = 3 \end{cases}$

Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $3 c m$ και $4 c m$ .

β) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο $Π = 14$ και εμβαδόν $Ε$ έχουν άθροισμα $S = 7$ και γινόμενο $P = Ε$ . Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης

$x^{2} - 7 x + E = 0$

Η εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει

$Δ \geq 0$ $\Leftrightarrow (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot Ε \geq 0$ $\Leftrightarrow 49 - 4 Ε \geq 0$ $\Leftrightarrow Ε \leq \frac{49}{4}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).