Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34409	Ύλη:	4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34409
Ύλη:	4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 17-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο $Α Β Γ Δ$ ( $Α Β ∥ Γ Δ$ και $Α Δ = Β Γ$ ), με $Α Β > Γ Δ$ και $Μ Ν$ η διάμεσός του.

α) Αν τα μήκη των βάσεων είναι $Α Β = 3 x + 2$ , $Γ Δ = x + 2$ και το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου είναι $Μ Ν = x + 4$ , τότε να δείξετε ότι $x = 2.$
(Μονάδες 10)

β) Αν η γωνία $\hat{Γ}$ είναι διπλάσια της γωνίας $\hat{Β}$ , να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

α) Η $Μ Ν$ είναι διάμεσος στο ισοσκελές τραπέζιο $Α Β Γ Δ$ , οπότε η $Μ Ν$ θα ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων $Α Β$ και $Γ Δ$ του τραπεζίου, δηλαδή

$Μ Ν = \frac{Α Β + Γ Δ}{2}, (1)$

Η σχέση $(1)$ με βάση τα δεδομένα γίνεται:

$x + 4 = \frac{3 x + 2 + x + 2}{2}$ $\Leftrightarrow x + 4 = \frac{4 x + 4}{2}$ $\Leftrightarrow x + 4 = 2 x + 2$ $\Leftrightarrow x = 2$

β) Για τις γωνίες του τραπεζίου $Α Β Γ Δ$ ισχύει $\hat{Α} + \hat{Β} + \hat{Γ} + \hat{Δ} = 360^{ο}$ .
Αφού το τραπέζιο $Α Β Γ Δ$ είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες οι προσκείμενες στις βάσεις του $Α Β$ και $Γ Δ$ θα είναι ίσες, δηλαδή $\hat{A} = \hat{B}$ και $\hat{Γ} = \hat{Δ}$ .

Οπότε η σχέση του αθροίσματος των γωνιών του τραπεζίου $Α Β Γ Δ$ γίνεται:

$2 \hat{Β} + 2 \hat{Γ} = 360^{ο}$ $\Leftrightarrow \hat{Β} + \hat{Γ} = 180^{ο}$

και αφού από την υπόθεση είναι $\hat{Β} = 2 \hat{Γ}$ τότε

$2 \hat{Γ} + \hat{Γ} = 180^{ο}$ $\Leftrightarrow 3 \hat{Γ} = 180 ο$ $\Leftrightarrow \hat{Γ} = 60^{ο} .$

Όμως είναι $\hat{Γ} = \hat{Δ}$ , άρα θα είναι και $\hat{Δ} = 60^{ο} .$
Αφού από την υπόθεση ισχύει ότι $\hat{Β} = 2 \hat{Γ}$ , τότε θα είναι $\hat{Β} = 2 \cdot 60^{ο} = 120^{ο} .$

Όμως $\hat{Α} = \hat{Β}$ , οπότε θα είναι $\hat{Α} = 120^{ο} .$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).