Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34436	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34436
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί: $A = \frac{1}{5 + \sqrt{5}}$ , $B = \frac{1}{5 - \sqrt{5}}$ .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) $A + B = \frac{1}{2}$

(Μονάδες 8)

i) $A \cdot B = \frac{1}{20}$

(Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς $Α$ και $Β$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α)
i) Είναι:

$A + B = \frac{1}{5 + \sqrt{5}} + \frac{1}{5 - \sqrt{5}}$ $= \frac{5 - \sqrt{5}}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})} + \frac{5 + \sqrt{5}}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$ $= \frac{5 - \sqrt{5} + 5 + \sqrt{5}}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$ $= \frac{10}{5^{2} - {\sqrt{5}}^{2}} = \frac{10}{25 - 5}$ $= \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Ισχύει ότι:

$A \cdot B = \frac{1}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$ $= \frac{1}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$ $= \frac{1}{5^{2} - (\sqrt{5})^{2}}$ $= \frac{1}{25 - 5} = \frac{1}{20}$

β) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: $x^{2} - S x + P = 0,$ με

$S = A + B = \frac{1}{2}$

και

$P = A \cdot B = \frac{1}{20}$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{20} = 0$ $\Leftrightarrow 20 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).