Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34436 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34436
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί: \(A=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}\), \(B=\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}\).

α) Να αποδείξετε ότι:

i) \(A+B=\dfrac{1}{2}\)

(Μονάδες 8)

i) \(A\cdot B=\dfrac{1}{20}\)

(Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(Α\) και \(Β\).
(Μονάδες 9)


Απάντηση Θέματος:

Λύση

α)
i) Είναι:

$$A+B=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}$$ $$ =\dfrac{5−\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}+\dfrac{5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$ $$=\dfrac{5−\sqrt{5}+5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$ $$=\dfrac{10}{5^{2}−\sqrt{5}^{2}}=\dfrac{10}{25−5}$$ $$=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$$

  1. Ισχύει ότι:

$$A \cdot B = \dfrac{1}{5+\sqrt{5}}\cdot \dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$$ $$= \dfrac{1}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}$$ $$= \dfrac{1}{5^2-(\sqrt{5})^2}$$ $$=\dfrac{1}{25−5}=\dfrac{1}{20}$$

β) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \(x^{2}−Sx+P=0,\) με

$$S=A+B=\dfrac{1}{2}$$

και

$$P=A\cdot B=\dfrac{1}{20}$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^2-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{20}=0$$ $$\Leftrightarrow 20x^2-10x+1=0$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).