Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34488	Ύλη:	4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34488
Ύλη:	4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο $Α Β Γ Δ$ ( $Α Β ∥ Γ Δ$ ) με $\hat{Γ} = \hat{Δ} = 60^{0}$ . Φέρουμε τα ύψη του $Α Ε$ και $Β Ζ$ .

Να αποδείξετε ότι:
α) $Δ Ε = Γ Ζ$ .
(Μονάδες 12)

β) Το τετράπλευρο $Α Ε Ζ Β$ είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού $Α Ε$ και $Β Ζ$ είναι κάθετα στη $Δ Γ$ , τότε οι γωνίες $\hat{Α Ε Δ}$ και $\hat{Β Ζ Γ}$ είναι ορθές και τα τρίγωνα $Α Ε Δ$ και $Β Ζ Γ$ είναι ορθογώνια.

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου $Α Ε Δ$ , ισχύει $\hat{Δ Α Ε} + \hat{Δ} = 90^{0}$ και αφού $\hat{Δ} = 60^{0}$ τότε $\hat{Δ Α Ε} = 30^{0}$ .

Οπότε, η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας των $30^{0}$ θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας $Α Δ$ , δηλαδή είναι $Δ Ε = \frac{Α Δ}{2}$ .

Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο $Β Ζ Γ$ θα είναι $\hat{Ζ Β Γ} = 30^{0}$ και θα ισχύει $Ζ Γ = \frac{Β Γ}{2}$ .

Επειδή είναι $Α Δ = Β Γ$ αφού το $Α Β Γ Δ$ είναι ισοσκελές τραπέζιο από την υπόθεση, θα προκύπτει ότι $Δ E = Γ Ζ$

β) Επειδή $Α Β ∥ Γ Δ$ και το τμήμα $Α Ε$ είναι κάθετο στην $Δ Γ$ από την υπόθεση, τότε θα είναι κάθετο και στην παράλληλη της $Δ Γ$ , την $Α Β$ .

Οπότε, το τετράπλευρο $Α Ε Ζ Β$ έχει τρείς γωνίες ορθές, τις $\hat{Α Ε Ζ}, \hat{Β Ζ Ε}$ και $\hat{E A B}$ άρα θα είναι ορθογώνιο.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).