Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34544	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34544
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:

$x^{2} - 2 λ x + 4 (λ - 1) = 0 (1)$

με άγνωστο το $x$ και παράμετρο $λ \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης $(1)$ είναι η $Δ = (2 λ - 4)^{2}$ .
(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $(1)$ για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $λ$ .
(Μονάδες 9)

γ) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $λ$ ο αριθμός $x = 2$ είναι λύση της εξίσωσης $(1)$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι: $α = 1$ , $β = - 2 λ$ και $γ = 4 (λ - 1)$ .
Τότε:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 2 λ)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 (λ - 1)$ $= 4 λ^{2} - 16 λ + 16$ $= (2 λ - 4)^{2}$

β) Επειδή $Δ = (2 λ - 4)^{2} \geq 0$ , για κάθε $λ \in R$ η εξίσωση δεν είναι αδύνατη στο $R$ .

Συγκεκριμένα ισχύουν τα παρακάτω:

Αν:

$Δ = 0$ $\Leftrightarrow (2 λ - 4)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow 2 λ - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 2 λ = 4$ $\Leftrightarrow \frac{2 λ}{2} = \frac{4}{2}$ $\Leftrightarrow λ = 2$

τότε η εξίσωση $(1)$ έχει μια διπλή λύση.
Αν:

$Δ > 0$ $\Leftrightarrow (2 λ - 4)^{2} > 0$ $\Leftrightarrow 2 λ - 4 \neq 0$ $\Leftrightarrow λ \neq 2$

τότε η εξίσωση $(1)$ έχει δύο ρίζες άνισες.

γ) Ο αριθμός $x = 2$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(1)$ άρα την επαληθεύει.

Έτσι έχουμε:

$2^{2} - 2 λ \cdot 2 + 4 (λ - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 4 - 4 λ + 4 λ - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 0 λ = 0, ταυτότητα$

Τελικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $λ$ ο αριθμός $x = 2$ είναι λύση της εξίσωσης $(1)$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).