Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34746	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34746
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:

$x^{2} - 2 β x + (β^{2} - 4) = 0 (1)$

με παράμετρο $β \in R$ .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις: $x_{1} = β - 2$ και $x_{2} = β + 2$ .

(Μονάδες 12)

β) Αν $x_{1}$ , $x_{2}$ είναι οι ρίζες της $(1)$ , να εξετάσετε αν οι αριθμοί $x_{1}$ , $β$ , $x_{2}$ , με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Το τριώνυμο $x^{2} - 2 β x + β^{2} - 4$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 2 β)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (β^{2} - 4)$ $= 4 β^{2} - 4 β^{2} + 16 = 16 > 0$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$x_{1,2} = \frac{2 β \pm 4}{2}$

οπότε έχουμε:

$x_{1} = β + 2, x_{2} = β - 2$

Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η $x_{1} = β + 2$ είναι ρίζα της $(1)$ , διότι την επαληθεύει:

$(β + 2)^{2} - 2 β (β + 2) + β^{2} - 4 = β^{2} + 4 β + 4 - 2 β^{2} - 4 β + β^{2} - 4 = 0$

Ομοίως η $x_{2} = β - 2$ είναι ρίζα της $(1)$ , διότι την επαληθεύει:

$(β - 2)^{2} - 2 β (β - 2) + β^{2} - 4 = β^{2} - 4 β + 4 - 2 β^{2} + 4 β + β^{2} - 4 = 0$

Συνεπώς, η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις $x_{1}$ , $x_{2}$ , με $x_{1} \neq x_{2}$ .

β) Οι αριθμοί $β - 2$ , $β$ , $β + 2$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: $β - (β - 2) = 2$ και $(β + 2) - β = 2$ , δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: $ω = 2$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).