Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34746	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34746
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση:

$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4) = 0\ \ \ \ (1)$$

με παράμετρο $β\in \mathbb{R}$.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις: $x_{1}=β−2$ και $x_{2}=β+2$.

(Μονάδες 12)

β) Αν $x_{1}$, $x_{2}$ είναι οι ρίζες της $(1)$, να εξετάσετε αν οι αριθμοί $x_{1}$, $β$, $x_{2}$, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Το τριώνυμο $x^{2}−2βx+β^{2}−4$ έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(−2β)^{2}−4\cdot 1\cdot (β^{2}−4)$$ $$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{2β\pm 4}{2}$$

οπότε έχουμε:

$$x_{1}=β+2\ \ \text{,}\ \ x_{2}=β−2$$

Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η $x_{1}=β+2$ είναι ρίζα της $(1)$, διότι την επαληθεύει:

$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$

Ομοίως η $x_{2}=β−2$ είναι ρίζα της $(1)$, διότι την επαληθεύει:

$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$

Συνεπώς, η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις $x_{1}$, $x_{2}$, με $x_{1}\ne x_{2}$.

β) Οι αριθμοί $β-2$, $β$, $β+2$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: $β-(β-2) = 2$ και $(β+2) – β = 2$, δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: $ω = 2$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).