Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34774	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34774
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ ( $Α Β = Α Γ$ ) και η διάμεσος του $Α Μ$ . Στην προέκταση της πλευράς $Β Γ$ και προς τα δυο της άκρα, θεωρούμε σημεία $Δ$ και $Ε$ αντίστοιχα έτσι ώστε $Β Δ = Γ Ε$ .
Να αποδείξετε ότι:

α) $\hat{Α Β Δ}$ = $\hat{Α Γ Ε}$
(Μονάδες 6)

β) τα τρίγωνα $Α Β Δ$ και $Α Γ Ε$ είναι ίσα.
(Μονάδες 12)

γ) η $Α Μ$ είναι και διάμεσος του τριγώνου $Α Δ Ε$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι $\hat{Β}$ = $\hat{Γ}$ επειδή $Α Β Γ$ ισοσκελές τρίγωνο με βάση $Β Γ$ , τότε:

$\hat{Α Β Δ} = 180^{0} - \hat{Β} = 180^{0} - \hat{Γ} = \hat{Α Γ Ε}$

β) Τα τρίγωνα $Α Β Δ$ και $Α Γ Ε$ έχουν:

$Α Β = Α Γ$ , από την υπόθεση
$Β Δ = Γ Ε$ , από την υπόθεση
$\hat{Α Β Δ} = \hat{Α Γ Ε}$ , από το α) ερώτημα

Οπότε τα τρίγωνα $Α Β Δ$ και $Α Γ Ε$ είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες ( $Π Γ Π$ ).

γ) Αφού από την υπόθεση έχουμε ότι η $Α Μ$ είναι διάμεσος του τριγώνου $Α Β Γ$ , τότε το $Μ$ είναι μέσο της $Β Γ$ και θα ισχύει $Β Μ = Μ Γ (1)$ . Επίσης είναι $Β Δ = Γ Ε (2)$ από την υπόθεση.

Οπότε προσθέτοντας τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ κατά μέλη θα έχουμε:

$Β Μ + Β Δ = Μ Γ + Γ Ε$ $\Rightarrow Δ Μ = Μ Ε$

Επομένως το $Μ$ είναι μέσο του $Δ Ε$ , δηλαδή η $Α Μ$ είναι διάμεσος του $Α Δ Ε$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).