Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34919	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	34919
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

α) Να λύσετε την ανίσωση:

$x^{2} - 10 x + 21 < 0$

(Μονάδες 13)

β) Αν $3 < x < 7$ , να δείξετε ότι η παράσταση

$Α = | x^{2} - 10 x + 21 | + x^{2} - 10 x + 22$

είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του $x$ .
(Μονάδες 12)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} - 10 x + 21$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21$ $= 100 - 84 = 16$

και ρίζες:

$x_{1,2} = \frac{- (- 10) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{10 \pm 4}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{10 + 4}{2} = 7 \\ \frac{10 - 4}{2} = 3 \end{cases}$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του $x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$x^{2} - 10 x + 21 < 0$ $\Leftrightarrow 3 < x < 7$

β) Για $3 < x < 7$ , από το (α) ερώτημα έχουμε ότι: $x^{2} - 10 x + 21 < 0$ .

Οπότε:

$Α = | x^{2} - 10 x + 21 | + x^{2} - 10 x + 22 =$ $= - (x^{2} - 10 x + 21) + x^{2} - 10 x + 22 = 1$

Δηλαδή, η παράσταση $Α$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη του $x$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).