Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35035 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35035 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+9x-12\), \(x\in \mathbb{R}\).
α) Να λύσετε την ανίσωση \(f(x)\le 0\) και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 13)
β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός \(\sqrt[3]{2}\) είναι λύση της ανίσωσης του α) ερωτήματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+9x-12\) έχει \(α=3\), \(β=9\), \(γ=-12\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=9^{2}-4\cdot 3\cdot (-12)$$ $$=81+144=225>0$$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι:
$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-9\pm \sqrt{225}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{-9\pm 15}{6}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-9+15}{6}=1 \\ \dfrac{-9-15}{6}=-4 \end{cases}$$
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Επομένως ισχύει:
$$f(x)\le 0 $$ $$\Leftrightarrow 3x^{2}+9x-12\le 0 $$ $$\Leftrightarrow -4\le x\le 1 $$ $$\Leftrightarrow x\in [-4,1]$$
β) Ο αριθμός \(\sqrt[3]{2}\) είναι λύση της ανίσωσης αν και μόνο αν:
$$-4\le \sqrt[3]{2}\le 1 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}\le 1 $$ $$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2})^{3}\le 1^{3} $$ $$\Leftrightarrow 2\le 1$$
Το οποίο δεν ισχύει. Άρα ο αριθμός \(\sqrt[3]{2}\) δεν είναι λύση της ανίσωσης.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).