Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35037 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35037 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.3. Γεωμετρική πρόοδος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαρ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Οι αριθμοί \(κ-2\), \(2κ\) και \(7κ+4\), \(κ\in Ν\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου \((α_{ν})\).
α) Να αποδείξετε ότι \(κ=4\) και να βρείτε το λόγο \(λ\) της προόδου.
(Μονάδες 12)
β)
Να εκφράσετε τον \(2^ο\) όρο, τον \(5^ο\) και τον \(4^ο\) όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του \(α_{1}\).
(Μονάδες 6)Να αποδείξετε ότι \(α_{2}+α_{5}=4(α_{1}+α_{4})\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Οι αριθμοί \(κ-2\), \(2κ\) και \(7κ+4\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:
$$(2κ)^{2}=(κ-2)\cdot (7κ+4) $$ $$\Leftrightarrow 4κ^{2}=7κ^{2}+4κ-14κ-8 $$ $$\Leftrightarrow 3κ^{2}-10κ-8=0\ \ \ \ (1)$$
Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-10)^{2}-4\cdot 3\cdot (-8)$$ $$=100+96=196>0$$
Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:
$$κ_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{196}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{10\pm 14}{6}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{10+14}{6}=4 \\ \dfrac{10-14}{6}=-\dfrac{2}{3} \end{cases}$$
Η τιμή \(κ=-\dfrac{2}{3}<0\) απορρίπτεται. Άρα \(κ=4\).
Για \(κ=4\) οι αριθμοί γράφονται \(2\), \(8\), \(32\) οπότε ο λόγος είναι:
$$λ=\dfrac{8}{2}=4$$
β)
- Είναι:
$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1}=4α_{1}$$ $$α_{4}=α_{1}λ^{4-1}=α_{1}4^{3}=64α_{1}$$ $$α_{5}=α_{1}λ^{5-1}=α_{1}4^{4}=256α_{1}$$
- Ισχύει ότι:
$$α_{2}+α_{5}$$ $$=4α_{1}+256α_{1}$$ $$=4(α_{1}+64α_{1})$$ $$=4(α_{1}+α_{4})$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).