Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35038	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35038
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

Έστω $α$ , $β$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

$α \cdot β = 4 και α^{2} β + α β^{2} = 20$

α) Να αποδείξετε ότι: $α + β = 5$ .
(Μονάδες 10)

Β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς $α$ , $β$ και να τους βρείτε.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$α^{2} β + α β^{2} = 20$ $\Leftrightarrow α β (α + β) = 20$ $\Leftrightarrow 4 (α + β) = 20$ $\Leftrightarrow α + β = 5$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$x^{2} - S x + P = 0$

με:

$S = α + β = 5 και P = α \cdot β = 4$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 4$ έχει $α = 1$ , $β = - 5$ , $γ = 4$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4$ $= 25 - 16 = 9 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{5 \pm 3}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{5 + 3}{2} = 4 \\ \frac{5 - 3}{2} = 1 \end{cases}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).