Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35038	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35038
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

Έστω $α$, $β$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

$$α\cdot β=4\ \ \text{και}\ \ α^{2}β+αβ^{2}=20$$

α) Να αποδείξετε ότι: $α+β=5$.
(Μονάδες 10)

Β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς $α$, $β$ και να τους βρείτε.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$α^{2}β+αβ^{2}=20 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow 4(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow α+β=5$$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^{2}-Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=5\ \ \text{και}\ \ P=α\cdot β=4$$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}-5x+4=0$$

Το τριώνυμο $x^{2}-5x+4$ έχει $α=1$, $β=-5$, $γ=4$ και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{5\pm 3}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{5+3}{2}=4 \\ \dfrac{5-3}{2}=1 \end{cases}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).