Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35040 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 35040 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι παραστάσεις: \(Κ=2α^{2}+β^{2}+9\) και \(Λ=2α(3-β)\), όπου \(α\), \(β\in \mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι: \(Κ-Λ=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\).
(Μονάδες 3)
β) Να δείξετε ότι: \(Κ\ge Λ\), για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).
(Μονάδες 10)
γ) Για ποιες τιμές των \(α\), \(β\) ισχύει η ισότητα \(Κ=Λ\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Είναι:
$$Κ-Λ=2α^{2}+β^{2}+9-2α(3-β)$$ $$= 2α^{2}+β^{2}+9-(6α-2αβ)$$ $$=α^{2}+α^{2}+β^{2}+9-6α+2αβ$$ $$=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)$$
β) Ισοδύναμα και διαδοχικά ισχύει ότι:
$$Κ\ge Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}\ge 0$$
το οποίο ισχύει για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).
γ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:
$$Κ=Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ=0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (α+β)^{2}=0 \\ (α-3)^{2}=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α+β=0 \\ α-3=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=-β \\ α=3 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=3 \\ β=-3 \end{cases}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).