Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35042	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.1. Ακολουθίες 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35042
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.1. Ακολουθίες 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του $x$ , οι αριθμοί $x + 4$ , $2 - x$ , $6 - x$ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 13)

β) Αν $x = 5$ και ο $6 - x$ είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, να βρείτε:

το λόγο $λ$ της γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 6)
τον πρώτο όρο $α_{1}$ της προόδου.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $x + 4$ , $2 - x$ , $6 - x$ , είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$(2 - x)^{2} = (6 - x) \cdot (x + 4)$ $\Leftrightarrow 4 - 4 x + x^{2} = 6 x + 24 - x^{2} - 4 x$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} - 6 x - 20 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0 (1)$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)$ $= 9 + 40 = 49 > 0$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{3 \pm 7}{2}$ $= {\begin{cases} \frac{3 + 7}{2} = 5 \\ \frac{3 - 7}{2} = - 2 \end{cases}$

β) Για $x = 5$ :

$α_{4} = 6 - x = 1$ $α_{3} = 2 - x = - 3$ $α_{2} = x + 4 = 9$

Ο λόγος είναι $λ = \frac{α_{4}}{α_{3}} = - \frac{1}{3}$ .

Είναι:

$α_{2} = α_{1} λ^{2 - 1}$ $\Leftrightarrow 9 = α_{1} (- \frac{1}{3})$ $\Leftrightarrow α_{1} = - 27$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).