Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35042	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.1. Ακολουθίες 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35042
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.1. Ακολουθίες 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 16-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 2

α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του $x$, οι αριθμοί $x+4$, $2-x$, $6-x$ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 13)

β) Αν $x=5$ και ο $6-x$ είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, να βρείτε:

το λόγο $λ$ της γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 6)
τον πρώτο όρο $α_{1}$ της προόδου.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $x+4$, $2-x$, $6-x$, είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2-x)^{2}=(6-x)\cdot (x+4) $$ $$\Leftrightarrow 4-4x+x^{2}=6x+24-x^{2}-4x $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-6x-20=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-10)$$ $$=9+40=49>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{3\pm 7}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{3+7}{2}=5 \\ \dfrac{3-7}{2}=-2 \end{cases}$$

β) Για $x=5$:

$$α_{4}=6-x=1$$ $$α_{3}=2-x=-3$$ $$α_{2}=x+4=9$$

Ο λόγος είναι $λ=\dfrac{α_{4}}{α_{3}}=-\dfrac{1}{3}$.

Είναι:

$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1} $$ $$\Leftrightarrow 9=α_{1}(-\dfrac{1}{3}) $$ $$\Leftrightarrow α_{1}=-27$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).