Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35382	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	35382
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η παράσταση:

$$Κ=\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $2x^{2}-3x-2$.
(Μονάδες 10)

β) Για ποιες τιμές του $x\in \mathbb{R}$ ορίζεται η παράσταση $Κ$; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση $Κ$.
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $2x^{2}-3x-2$ έχει $α=2$, $β=-3$, $γ=-2$ και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot (-2)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{β^{2}-4αγ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{3\pm 5}{4}=\begin{cases}\dfrac{3+5}{4} & =2 \\ \dfrac{3-5}{4} & = - \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Τότε:

$$2x^{2}-3x-2=2\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)(x-2)$$ $$=(2x+1)(x-2)$$

β) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση $Κ$ πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή:

$$2x^{2}-3x-2\ne 0$$ $$\overset{α)}{ \Leftrightarrow } (2x+1)(x-2)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x+1\ne 0\ \ \text{και}\ \ x-2\ne 0) $$ $$\Leftrightarrow (x\ne -\dfrac{1}{2}\ \ \text{και}\ \ x\ne 2)$$

γ) Για $x\ne -\dfrac{1}{2}$ και $x\ne 2$ ισχύει ότι:

$$Κ=\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$ $$=\dfrac{(x-2)^{2}}{(2x+1)(x-2)}$$ $$=\dfrac{x-2}{2x+1}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).