Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35409 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35409
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο x2−λx+1, με παράμετρο λ∈R.

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=λ2−4.
(Μονάδες 05)

β) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g που είναι ορισμένες στο R με: f(x)=λx−λ+2 και g(x)=x2−λ+3, λ∈R.

  1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση από την οποία μπορούμε να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των f και g είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x2−λx+1=0.
    (Μονάδες 05)

  2. Στο καθένα από τα επόμενα σχήματα δίνεται οι γραφικές παραστάσεις των δυο συναρτήσεων για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου λ.
    Με δεδομένο ότι λ∈1,2,4, να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ σε καθένα από τα σχήματα, δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 15)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο x2−λx+1 έχει: α=1, β=−λ, γ=1.

Έχουμε:

Δ=β2−4αγ =(−λ)2−4⋅1⋅1 =λ2−4, λ∈R

β)

  1. Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των Cf, Cg πρέπει και αρκεί να λύσουμε την εξίσωση g(x)=f(x).

    Έχουμε διαδοχικά:

    g(x)=f(x) ⇔x2−λ+3=λx−λ+2 ⇔x2−λx+1=0

  2. Για λ=1 έχουμε: Δ=12−4=−3<0.
    Για λ=2 έχουμε: Δ=22−4=0.
    Για λ=4 έχουμε: Δ=42−4=12>0.

    Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης για κάθε x∈R, επομένως ισχύει:

    g(x)>f(x)    (1)

    για κάθε x∈R.

    Έχουμε:

    (1)⇔x2−λ+3>λx−λ+2 ⇔x2−λx+1>0

    για κάθε x∈R.

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο x2−λx+1 έχει σταθερό πρόσημο όταν Δ<0 επομένως η τιμή του λ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι λ=1.

    Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, επομένως η εξίσωση g(x)=f(x)  (2) έχει μία διπλή ρίζα.
    Έχουμε:

    (2)⇔x2−λ+3=λx−λ+2 ⇔x2−λx+1=0

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο x2−λx+1 έχει μία διπλή ρίζα όταν Δ=0 επομένως η τιμή του λ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι λ=2.

    Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία, επομένως η εξίσωση g(x)=f(x)  (3) έχει δύο άνισες λύσεις.

    Όπως και στην δεύτερη περίπτωση η εξίσωση (3) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x2−λx+1=0.

    Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο x2−λx+1 έχει δύο άνισες λύσεις όταν Δ>0 επομένως η τιμή του λ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι λ=4.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).