Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35410 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 35410
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο: x2−2λx+4λ+5, με παράμετρο λ∈R.

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=4λ2−16λ−20.
(Μονάδες 05)

β) Θεωρούμε την συνάρτηση f, που είναι ορισμένη στο λ∈R με τύπο:

f(x)=x2−2λx+4λ+5

Στο καθένα από τα επόμενα σχήματα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου λ.

  1. Για τα δύο πρώτα σχήματα δίνεται ότι η παράμετρος λ∈{−2,4}. Να βρείτε σε ποια τιμή του λ αντιστοιχεί το καθένα από τα σχήματα αυτά, δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 10)

  2. Για το σχήμα 3 να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η παράμετρος λ∈R, δικαιολογώντας την απάντηση σας.
    (Μονάδες 10)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο x2−2λx+4λ+5 έχει: α=1, β=−2λ, γ=4λ+5.

Έχουμε:

Δ=β2−4αγ =(−2λ)2−4⋅1⋅(4λ+5) =4λ2−16λ−20, λ∈R

β)

  1. Για λ=−2, έχουμε Δ=4(−2)2−16(−2)−20=28>0.

    Για λ=4, έχουμε Δ=4⋅42−16⋅4−20=−20<0.

    Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x′x για κάθε x∈R, επομένως ισχύει x2−2λx+4λ+5>0 για κάθε x∈R. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει σταθερό πρόσημο όταν Δ<0, επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή λ=4.

    Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x′x σε δύο σημεία επομένως η εξίσωση x2−2λx+4λ+5=0 έχει δύο άνισες λύσεις. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει δύο άνισες λύσεις όταν Δ>0, επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή λ=−2.

  2. Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με τον άξονα x′x ένα ακριβώς κοινό σημείο επομένως η εξίσωση x2−2λx+4λ+5=0 έχει μία διπλή ρίζα. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα όταν Δ=0.

    Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα είναι ένα τριώνυμο του λ με α=4, β=−16, γ=−20 και διακρίνουσα:

    Δ′=(−16)2−4⋅4⋅(−20) =256+320=576

    Επομένως η διακρίνουσα Δ έχει ρίζες: λ1=16−248=−1 και λ2=16+248=5.

    Συμπεραίνουμε ότι οι δυνατές τιμές του λ είναι λ=−1 ή λ=5.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).