Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	35411	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	35411
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 2

α) Αν οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό $x$.
(Μονάδες 9)

β) Αν οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό $x$.
(Μονάδες 9)

γ) Να βρεθεί ο αριθμός $x$ ώστε οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ να είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x=\dfrac{4-x+2}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x=6-x $$ $$\Leftrightarrow 3x=6 $$ $$\Leftrightarrow x=2$$

β) Οι αριθμοί $4-x$, $x$, $2$ είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$x^{2}=(4-x)\cdot 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=8-2x $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{-2\pm 6}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+6}{2} =2 \\ \dfrac{-2-6}{2} = - 4 \end{cases}$$

γ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε $x=2$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).