Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	35724	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	35724
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Για μια επαγγελματική κάρτα επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς $x c m$ $(5 \leq x \leq 10)$ στο οποίο η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων (με κίτρινο χρώμα στο παρακάτω σχήμα) περιβάλλεται από περιθώρια $2 c m$ στο πάνω και στο κάτω μέρος της και $1 c m$ δεξιά και αριστερά.

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν $Ε$ της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$Ε (x) = (x - 2) (x - 4), 5 \leq x \leq 10$

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε την τιμή του $x$ , ώστε το εμβαδόν $Ε$ της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι $35 c m^{2}$ .
(Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά $x$ του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον $24 c m^{2}$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι ορθογώνιο με διαστάσεις:

$x - (1 + 1) = x - 2$

και

$x - (2 + 2) = x - 4$

Επομένως το εμβαδόν της $Ε$ εκφράζεται από τη συνάρτηση:

$Ε (x) = (x - 2) (x - 4), 5 \leq x \leq 10$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$Ε (x) = 35$ $\Rightarrow (x - 2) (x - 4) = 35$ $\Rightarrow x^{2} - 6 x + 8 = 35$ $\Rightarrow x^{2} - 6 x - 27 = 0 (1)$

Το τριώνυμο $x^{2} - 6 x - 27$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27) = 144 > 0$

και συνεπώς η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$x_{1} = \frac{- (- 6) - 12}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

και

$x_{2} = \frac{- (- 6) + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Επειδή $5 \leq x \leq 10$ , δεκτή είναι η λύση $x = 9$ .

Άρα σε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς $9 c m$ , η περιοχή εκτύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν $35 c m^{2}$ .

γ) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον $24 c m^{2}$ , δηλαδή $Ε (x) \geq 24$ . Έχουμε ισοδύναμα:

$(x - 2) (x - 4) \geq 24, οπότε$ $x^{2} - 6 x - 16 \geq 0 (2)$

Το τριώνυμο $x^{2} - 6 x - 16$ έχει διακρίνουσα $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16) = 100 > 0$ και ρίζες:

$x_{1} = \frac{- (- 6) - 10}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

και

$x_{2} = \frac{- (- 6) + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα η $(2)$ αληθεύει για $x \leq - 2$ ή $x \geq 8$ . Επίσης $5 \leq x \leq 10$ , οπότε με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών

παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: $8 \leq x \leq 10$ .

Άρα για $x \in [8, 10]$ , η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον $24 c m^{2}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).