Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36170	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36170
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ με $Α Β = Α Γ$ . Στις προεκτάσεις των πλευρών $Β Α$ και $Γ Α$ (προς το $Α$ ) θεωρούμε τα σημεία $Ε$ και $Δ$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $Α Ε = Α Δ$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) $Β Ε = Γ Δ$ ,
(Μονάδες 6)

β) $Β Δ = Γ Ε$ ,
(Μονάδες 10)

γ) $\hat{Δ Β Γ} = \hat{Ε Γ Β}$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ με $Α Β = Α Γ$ και σημεία $Ε$ , $Δ$ στις προεκτάσεις των πλευρών $Β Α$ , $Γ Α$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $Α Ε = Α Δ$ .

α) Επειδή είναι $A B = A Γ$ και $A E = A Δ$ από υπόθεση τότε: $A B + A E = A Γ + A Δ$ , άρα $B E = Γ Δ$ .

β) Τα τρίγωνα $Δ Β Α$ και $Ε Α Γ$ έχουν:

$Α Β = Α Γ$ , από υπόθεση
$Α Δ = Α E$ , από υπόθεση
$\hat{Δ Α Β} = \hat{Ε Α Γ}$ , ως κατακορυφήν γωνίες.

Τα τρίγωνα $Δ Β Α$ και $Ε Α Γ$ έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα ( $Π Γ Π$ ), οπότε $B Δ = Γ E$ ως πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Δ Α Β}$ , $\hat{Ε Α Γ}$ αντίστοιχα.

γ) Τα τρίγωνα $Δ Β Α$ και $Ε Α Γ$ είναι ίσα οπότε: $\hat{Δ Β Α} = \hat{Ε Γ Α} (1)$ ως γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές $Α Δ$ και $Α Ε$ αντίστοιχα. Στο ισοσκελές τρίγωνο $Α Β Γ$ είναι $\hat{Γ Β Α} = \hat{Β Γ Α} (2)$ , ως γωνίες της βάσης του $Β Γ$ . Οπότε $\hat{Δ Β Α} + \hat{Γ Β Α} = \hat{Ε Γ Α}$ + $\hat{Β Γ Α}$ ή $\hat{Δ Β Γ} = \hat{Ε Γ Β}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).