Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36649	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36649
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν $204800$ βακτήρια. Μετά από $1$ ώρα υπάρχουν $102400$ βακτήρια, μετά από $2$ ώρες υπάρχουν $51200$ βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.

α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από $6$ ώρες;
(Μονάδες 6)

β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν $3200$ , ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για $5$ ώρες. Συμβολίζουμε με $β_{ν}$ το πλήθος των βακτηρίων $ν$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης ( $ν \leq 5$ ).

Να δείξετε ότι η ακολουθία $(β_{ν})$ είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.
(Μονάδες 6)
Να εκφράσετε το πλήθος $β_{ν}$ των βακτηρίων συναρτήσει του $ν$ .
(Μονάδες 6)
Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό $3$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου $(α_{ν})$ με πρώτο όρο $α_{1} = 102400$ και λόγο $λ = \frac{1}{2}$ .

α) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο $α_{ν} = α_{1} λ^{ν - 1}$ και είναι:

$α_{ν} = 102400 \cdot {(\frac{1}{2})}^{ν - 1}$

Μετά από $6$ ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:

$α_{6} = 102400 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5}$ $= 102400 \cdot \frac{1}{32} = 3200$

β)

Μετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία $(β_{ν})$ είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $λ = 3$ και πρώτο όρο $β_{1} = 3200 \cdot 3 = 9600$ .
Είναι:

$β_{ν} = β_{1} λ^{ν - 1}$ $= 9600 \cdot 3^{ν - 1}, ν \leq 5$

Ο αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό $3$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:

$β_{3} = 9600 \cdot 3^{3 - 1}$ $= 9600 \cdot 3^{2} = 86.400$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).