Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36649	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36649
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν $204800$ βακτήρια. Μετά από $1$ ώρα υπάρχουν $102400$ βακτήρια, μετά από $2$ ώρες υπάρχουν $51200$ βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.

α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από $6$ ώρες;
(Μονάδες 6)

β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν $3200$, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για $5$ ώρες. Συμβολίζουμε με $β_{ν}$ το πλήθος των βακτηρίων $ν$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης ($ν\le 5$).

Να δείξετε ότι η ακολουθία $(β_{ν})$ είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.
(Μονάδες 6)
Να εκφράσετε το πλήθος $β_{ν}$ των βακτηρίων συναρτήσει του $ν$.
(Μονάδες 6)
Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό $3$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου $(α_{ν})$ με πρώτο όρο $α_{1}=102400$ και λόγο $λ=\dfrac{1}{2}$.

α) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο $α_{ν}=α_{1}λ^{ν-1}$ και είναι:

$$α_{ν}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{ν-1}$$

Μετά από $6$ ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:

$$α_{6}=102400\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$$ $$=102400\cdot \dfrac{1}{32}=3200$$

β)

Μετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία $(β_{ν})$ είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $λ=3$ και πρώτο όρο $β_{1}=3200\cdot 3=9600$.
Είναι:

$$β_{ν}=β_{1}λ^{ν-1}$$ $$=9600\cdot 3^{ν-1},ν\le 5$$

Ο αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό $3$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:

$$β_{3}=9600\cdot 3^{3-1}$$ $$=9600\cdot 3^{2}=86.400$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).