Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36650 | Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36650 |
| Ύλη: | 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των \(21\ \text{€}\) ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο \(30\) μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει \(51\) θέσεις.
Θέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερα από τον προηγούμενο.
α) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.
(Μονάδες 4)
β) Αν, για κάθε \(ν\le 51\) ο αριθμός \(α_{ν}\) εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί \(α_{1},α_{2},...,α_{51}\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά \(ω\) της προόδου.
(Μονάδες 6)
γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο \(51ος\) επιβάτης.
(Μονάδες 7)
δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε \(30\) εισιτήρια στην τιμή των \(21\ \text{€}\) ανά εισιτήριο.
(Δίνεται: \(\sqrt{10201}=101\))
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο.
α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει \(3+0,5=3,5\ \text{€}\), ο τρίτος θα πληρώσει \(3,5+0,5=4\ \text{€}\) και ο τέταρτος θα πληρώσει \(4+0,5=4,5\ \text{€}\).
β) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί \(α_{1},α_{2},...,α_{51}\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(ω=0,5\).
γ) Ο \(51ος\) επιβάτης θα πληρώσει \(α_{51}=3+(51-1)\cdot 0,5=28\ \text{€}\).
δ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \(ν\) ώστε \(S_{ν}>30\cdot 21\). Είναι:
$$S_{ν}>30\cdot 21 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}[2\cdot 3+(ν-1)\cdot 0,5]>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(6+\dfrac{ν-1}{2}\right)>630 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(\dfrac{12+ν-1}{2}\right)>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν(ν+11)}{4}>630 $$ $$\Leftrightarrow ν^{2}+11ν-2520>0\ \ \ \ (1)$$
Το τριώνυμο \(ν^{2}+11ν-2520>0\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=11^{2}-4(-2520)=10201$$
και ρίζες τους αριθμούς \(ν=45\), \(ν=-56\) που απορρίπτεται.
Επομένως η ανίσωση \((1)\) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο \(ν\) με \(ν>45\), οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον \(46\) εισιτήρια.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).