Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36650 Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36650
Ύλη: 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
ΘΕΜΑ 4

Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των 21  ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο 30 μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει 51 θέσεις.

Θέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3  και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει 0,5  περισσότερα από τον προηγούμενο.

α) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.
(Μονάδες 4)

β) Αν, για κάθε ν51 ο αριθμός αν εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί α1,α2,...,α51 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου.
(Μονάδες 6)

γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο 51ος επιβάτης.
(Μονάδες 7)

δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε 30 εισιτήρια στην τιμή των 21  ανά εισιτήριο.
(Δίνεται: 10201=101)
(Μονάδες 8)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3  και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει 0,5  περισσότερο από τον προηγούμενο.

α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει 3+0,5=3,5 , ο τρίτος θα πληρώσει 3,5+0,5=4  και ο τέταρτος θα πληρώσει 4+0,5=4,5 .

β) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3  και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει 0,5  περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί α1,α2,...,α51 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α1=3 και ω=0,5.

γ) Ο 51ος επιβάτης θα πληρώσει α51=3+(511)0,5=28 .

δ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού ν ώστε Sν>3021. Είναι:

Sν>3021 ν2[23+(ν1)0,5]>630 ν2(6+ν12)>630 ν2(12+ν12)>630 ν(ν+11)4>630 ν2+11ν2520>0    (1)

Το τριώνυμο ν2+11ν2520>0 έχει διακρίνουσα:

Δ=1124(2520)=10201

και ρίζες τους αριθμούς ν=45, ν=56 που απορρίπτεται.

Επομένως η ανίσωση (1) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο ν με ν>45, οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον 46 εισιτήρια.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).