Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36651 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36651 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 03-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).
α) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν \(λ=-2\) και όταν \(λ=3\).
(Μονάδες 8)
β)
Να αποδείξετε ότι αν \(λ=5\), τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
(Μονάδες 3)Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλη τιμή του \(λ\), ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.
(Μονάδες 6)
γ) Αν ισχύει \(|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5,λ\in \mathbb{R}-\{-1,5\}\) να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=4λ^{2}-16λ-20=4(λ^{2}-4λ-5)$$
Όταν \(λ=-2\), τότε:
$$Δ=4(4+8-5)=28>0$$
οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Όταν \(λ=3\), τότε:
$$Δ=4(9-12-5)=-32<0$$
οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
β)
Όταν \(λ=5\) η εξίσωση έχει διακρίνουσα \(Δ=4(25-20-5)=0\), οπότε έχει μια διπλή ρίζα.
Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει \(Δ=0\). Είναι:
$$Δ=0$$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-4λ-5=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=5\ \text{ή}\ λ=-1$$
Επομένως, εκτός από την περίπτωση \(λ=5\) που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν \(λ=-1\).
γ) Ισχύει:
$$|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5$$ $$=-(λ^{2}-4λ-5),\ λ\in \mathbb{R}-\{-1,5\}$$
οπότε ο αριθμός \(λ^{2}-4λ+5\) είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα \(Δ=4(λ^{2}-4λ-5)\) είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).