Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36652	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36652
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = 4 x + 2$ και $g (x) = x^{2} - 9$ με πεδίο ορισμού το $R$ .

α) βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g$ με τον άξονα $x^{'} x$ .
(Μονάδες 6)

β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία $(3, 0)$ και $(- 3, 0)$ .
(Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $g$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.
(Μονάδες 8)

δ) Να βρείτε συνάρτηση $h$ της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το σημείο $A (0, 3)$ και τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε ένα σημείο του ημιάξονα $O x$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g$ με τον άξονα $x^{'} x$ προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης $g (x) = 0$ . Είναι:

$g (x) = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 9 = 0$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ x = 3 \end{cases}$

Επομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα $M (- 3, 0)$ και $N (3, 0)$ .

β) Είναι:

$f (3) = 4 \cdot 3 + 2 = 14 \neq 0$

και

$f (- 3) = 4 \cdot (- 3) + 2 = - 10 \neq 0$

Επομένως, η γραφική παράσταση της $f$ δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία $M (- 3, 0)$ και $N (3, 0)$ .

γ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο $(x_{o}, 0)$ του άξονα $x^{'} x$ στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ , $C_{g}$ των $f$ , $g$ . Τότε ισχύει:

${\begin{cases} f (x_{o}) = 0 \\ g (x_{o}) = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 4 x_{o} + 2 = 0 \\ x_{o}^{2} = 9 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{o} = - \frac{1}{2} \\ x_{o} = \pm 3 \end{cases}$

που είναι άτοπο. Άρα οι $C_{f}$ , $C_{g}$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $x^{'} x$ .
Έστω ότι οι $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $y^{'} y$ . Τότε έχουμε:

$f (0) = g (0)$ $\Leftrightarrow 2 = - 9$

που είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων $f$ , $g$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $y^{'} y$ .

δ) Η γραφική παράσταση της $h$ είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής $h (x) = α x + β$ , $α$ , $β \in R$ . Η ευθεία διέρχεται από το σημείο $Α (0, 3)$ , οπότε έχουμε:

$h (0) = 3$ $\Leftrightarrow α \cdot 0 + β = 3$ $\Leftrightarrow β = 3$

Επομένως έχουμε $h (x) = α x + 3$ , $α \in R$ . Επιπλέον, η γραφική παράσταση της $h$ τέμνει την γραφική παράσταση της $g$ σε σημείο του ημιάξονα $Ο x$ οπότε ισχύει:

$h (3) = g (3)$ $\Leftrightarrow 3 α + 3 = 0$ $\Leftrightarrow α = - 1$

Τελικά η συνάρτηση h έχει τύπο $h (x) = - x + 3$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).