Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36653	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36653
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος $(α_{ν}), ν \in N^{*}$ της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι:

$α_{1} = x$ $α_{2} = 2 x^{2} - 3 x - 4$ $α_{3} = x^{2} - 2$

με $x$ ακέραιο.

α) Να αποδείξετε ότι $x = 3$ .
(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος με $2014$ .
(Μονάδες 8)

γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα $S = α_{1} + α_{3} + α_{5} + . . . + α_{15}$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

$α_{2} - α_{1} = α_{3} - α_{2}$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} - 3 x - 4 - x = x^{2} - 2 - (2 x^{2} - 3 x - 4)$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ $\Leftrightarrow x = 3 ή x = - \frac{2}{3}$

Η τιμή $x = - \frac{2}{3}$ απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.

β) Η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο $α_{1} = 3$ και διαφορά $ω = 2$ . Άρα ο ν-οστός όρος της είναι: $α_{ν} = 3 + (ν - 1) \cdot 2 = 2 ν + 1$ .

Έστω ότι κάποιος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με $2014$ . Τότε η εξίσωση $α_{ν} = 2014$ έχει λύση θετικό ακέραιο αριθμό. Είναι:

$α_{ν} = 2014$ $\Leftrightarrow 2 ν + 1 = 2014$ $\Leftrightarrow ν = \frac{2013}{2}$

που δεν είναι θετικός ακέραιος.

Επομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που είναι ίσος με $2014$ .

γ) Είναι:

$S = α_{1} + α_{3} + α_{5} + . . . + α_{15}$ $= 3 + 7 + 11 + . . . + 31$

οπότε οι όροι του αθροίσματος σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο $(β_{ν})$ με πρώτο όρο $β_{1} = 3$ και διαφορά $ω^{'} = 4$ . Αν ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος, τότε έχουμε:

$β_{ν} = 31$ $\Leftrightarrow 3 + (ν - 1) \cdot 4 = 31$ $\Leftrightarrow 4 ν = 32$ $\Leftrightarrow ν = 8$

Επομένως το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι $ν = 8$ και το ζητούμενο άθροισμα είναι

$S = S_{8} = \frac{8}{2} [2 \cdot 3 + (8 - 1) \cdot 4] = 136$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).