Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36655	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36655
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = \frac{x + 2}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες.
(Μονάδες 7)

γ) Αν $Α$ και $Β$ είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x^{'} x$ και $y^{'} y$ αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα $Α$ και $Β$ .
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:

$9 - x^{2} > 0$ $\Leftrightarrow x^{2} < 9$ $\Leftrightarrow | x | < 3$ $\Leftrightarrow - 3 < x < 3$

Άρα, $A_{f} = (- 3, 3)$ .

β) Η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $x^{'} x$ μόνο όταν για κάποιο $x \in A_{f}$ ισχύει $f (x) = 0$ . Είναι:

$f (x) = 0$ $\Leftrightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$ $\Leftrightarrow x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow x = - 2$

Επομένως η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $x^{'} x$ στο σημείο $A (- 2, 0)$ .

Επίσης έχουμε:

$f (0) = \frac{0 + 2}{\sqrt{9 - 0}} = \frac{2}{3}$

Άρα η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $y^{'} y$ στο σημείο $B (0, \frac{2}{3})$ .

γ) Έστω $(ε) : y = α x + β$ η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:

$α = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ $= \frac{\frac{2}{3} - 0}{0 - (- 2)}$ $= \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$

Άρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:

$(ε) : y = \frac{1}{3} x + β$

Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο $Α (- 2, 0)$ , οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:

$0 = \frac{1}{3} (- 2) + β$ $\Leftrightarrow β - \frac{2}{3} = 0$ $\Leftrightarrow β = \frac{2}{3}$

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι $(ε) : y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).