Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36657	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36657
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = x^{2}$ και $g (x) = λ x + (1 - λ), x \in R$ και $λ \neq 0$ , παράμετρος.

α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου $λ$ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό;
(Μονάδες 8)

γ) Αν $λ \neq 2$ και $x_{1}, x_{2}$ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$ , $C_{g}$ , να βρείτε την τιμή της παραμέτρου $λ$ ώστε να ισχύει $(x_{1} + x_{2})^{2} = | x_{1} + x_{2} | + 2$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$ , $C_{g}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f (x) = g (x)$ . Είναι:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow x^{2} = λ x + 1 - λ$ $\Leftrightarrow x^{2} - λ x + λ - 1 = 0 (1)$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- λ)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (λ - 1)$ $= λ^{2} - 4 λ + 4$ $= (λ - 2)^{2} \geq 0$

για κάθε $λ \in R$ . Επομένως η $(1)$ έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου $λ$ , οπότε οι $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν, για κάθε τιμή του $λ$ , ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

β) Η $(1)$ έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι $C_{f}$ , $C_{g}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:

$Δ = 0$ $\Leftrightarrow (λ - 2)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow λ = 2$

Για $λ = 2$ , η εξίσωση γίνεται:

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

η οποία έχει μοναδική λύση $x = 1$ .

Τότε $f (1) = 1$ , άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το $(1, 1)$ .

γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:

$S = x_{1} + x_{2}$ $= - \frac{β}{α} = λ$

οπότε με $λ \neq 2$ είναι:

$(x_{1} + x_{2})^{2} = | x_{1} + x_{2} | + 2$ $\Leftrightarrow λ^{2} - | λ | + 2 = 0$ $\Leftrightarrow | λ |^{2} - | λ | + 2 = 0$

Θέτουμε $| λ | = κ, κ > 0$ και η εξίσωση γράφεται:

$κ^{2} - κ - 2 = 0$ $\Leftrightarrow κ = 2 ή κ = - 1 (απορρίπτεται)$

Άρα, $| λ | = 2 \Leftrightarrow - λ = 2$ ή $λ = 2$ , που απορρίπτεται, οπότε τελικά $λ = - 2$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).