Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36657	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36657
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^{2}$ και $g(x)=λx+(1-λ),x\in \mathbb{R}$ και $λ\ne 0$, παράμετρος.

α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους $C_{f}$, $C_{g}$ έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου $λ$ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι $C_{f}$, $C_{g}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό;
(Μονάδες 8)

γ) Αν $λ\ne 2$ και $x_{1},x_{2}$ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$, $C_{g}$, να βρείτε την τιμή της παραμέτρου $λ$ ώστε να ισχύει $(x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2$.
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$, $C_{g}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=g(x)$. Είναι:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=λx+1-λ $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λx+λ-1=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-λ)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-1)$$ $$=λ^{2}-4λ+4$$ $$=(λ-2)^{2}\ge 0$$

για κάθε $λ\in \mathbb{R}$. Επομένως η $(1)$ έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου $λ$, οπότε οι $C_{f}$, $C_{g}$ έχουν, για κάθε τιμή του $λ$, ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

β) Η $(1)$ έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι $C_{f}$, $C_{g}$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:

$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (λ-2)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=2$$

Για $λ=2$, η εξίσωση γίνεται:

$$x^{2}-2x+1=0$$

η οποία έχει μοναδική λύση $x=1$.

Τότε $f(1)=1$, άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το $(1,1)$.

γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:

$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=-\dfrac{β}{α}=λ$$

οπότε με $λ\ne 2$ είναι:

$$(x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2 $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-|λ|+2=0 $$ $$\Leftrightarrow |λ|^{2}-|λ|+2=0$$

Θέτουμε $|λ|=κ,κ>0$ και η εξίσωση γράφεται:

$$κ^{2}-κ-2=0 $$ $$\Leftrightarrow κ=2\ \text{ή}\ κ=-1\ \ \text{(απορρίπτεται)}$$

Άρα, $|λ|=2 \Leftrightarrow -λ=2$ ή $λ=2$, που απορρίπτεται, οπότε τελικά $λ=-2$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).