Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36658	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36658
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος $y$ (σε $c m$ ) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή $t$ (σε $s e c$ ) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: $y = 60 t - 5 t^{2}$ .

α) Μετά πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;
(Μονάδες 8)

β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος $y = 175 m$ ;
(Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από $100 m$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Όταν η σφαίρα επανέλθει στο έδαφος θα ισχύει $y = 0$ . Είναι:

$y = 0$ $\Leftrightarrow 60 t - 5 t^{2} = 0$ $\Leftrightarrow 5 t (12 - t) = 0$ $\Leftrightarrow t = 0 ή t = 12$

Για $t = 0 s e c$ η σφαίρα βρίσκεται στην αρχή της κίνησης οπότε η τιμή $t = 0$ απορρίπτεται. Άρα η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος μετά από $t = 12 s e c$ .

β) Ισχύει:

$y = 175$ $\Leftrightarrow 60 t - 5 t^{2} = 175$ $\Leftrightarrow 5 t^{2} - 60 t + 175 = 0$ $\Leftrightarrow t^{2} - 12 t + 35 = 0$ $\Leftrightarrow t = 5 ή t = 7$

Άρα η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος $175 m$ τις χρονικές στιγμές $5 s e c$ και $7 s e c$ .

γ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από $100 m$ όταν $y > 100$ . Είναι:

$y > 100$ $\Leftrightarrow 60 t - 5 t^{2} > 100$ $\Leftrightarrow 5 t^{2} - 60 t + 100 < 0$ $\Leftrightarrow t^{2} - 12 t + 20 < 0$ $\Leftrightarrow 2 < t < 10$

Άρα η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από $100 m$ μεταξύ των χρονικών στιγμών $2 s e c$ και $10 s e c$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).