Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36658 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36658 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος \(y\) (σε \(cm\)) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή \(t\) (σε \(sec\)) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: \(y=60t-5t^{2}\).
α) Μετά πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;
(Μονάδες 8)
β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \(y=175\ m\);
(Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\).
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Όταν η σφαίρα επανέλθει στο έδαφος θα ισχύει \(y=0\). Είναι:
$$y=0 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 5t(12-t)=0 $$ $$\Leftrightarrow t=0\ \text{ή}\ t=12$$
Για \(t=0\ sec\) η σφαίρα βρίσκεται στην αρχή της κίνησης οπότε η τιμή \(t=0\) απορρίπτεται. Άρα η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος μετά από \(t=12\ sec\).
β) Ισχύει:
$$y=175 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=175 $$ $$\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+175=0$$ $$\Leftrightarrow t^{2}-12t+35=0 $$ $$\Leftrightarrow t=5\ \text{ή}\ t=7$$
Άρα η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \(175\ m\) τις χρονικές στιγμές \(5\ sec\) και \(7\ sec\).
γ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\) όταν \(y>100\). Είναι:
$$y>100 $$ $$\Leftrightarrow 60t-5t^{2}>100 $$ $$\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+100 < 0$$ $$\Leftrightarrow t^{2}-12t+20 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 2 < t < 10$$
Άρα η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \(100\ m\) μεταξύ των χρονικών στιγμών \(2\ sec\) και \(10\ sec\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).