Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36660	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36660
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει $20$ κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του $Α$. Η πρώτη κυψέλη απέχει $1$ μέτρο από την αποθήκη $Α$, η δεύτερη $4$ μέτρα από το $Α$, η τρίτη $7$ μέτρα από το $Α$ και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη $Α$, $3$ επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.

α) Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη $Α$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;
(Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη $Α$ είναι η $20η$ κυψέλη;
(Μονάδες 6)

γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη συλλέγει το μέλι, από μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει στην αποθήκη $Α$.

Ποια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την $3η$ κυψέλη;
(Μονάδες 6)
Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις $20$ κυψέλες;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι αποστάσεις $(α_{i}),i=1,2,3,...,20$ των κυψελών $K_{1},K_{2},K_{3},K_{4},...,K_{20}$ από την αποθήκη $Α$ διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό $3$. Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $α_{1}=1$ (η απόσταση της κυψέλης $Κ_{1}$ από την αποθήκη $Α$) και διαφορά $ω=3$ (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:

$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$ $$=1+(ν-1)3$$ $$=3ν-2$$

β) Αναζητούμε τον όρο $α_{20}$. Είναι:

$$α_{20}=3\cdot 20-2=58\ m$$

γ)

Η διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:

$$Α\rightarrow Κ_{1}\rightarrow Α$$ $$ Α\rightarrow Κ_{2}\rightarrow Α$$ $$Α\rightarrow Κ_{3}\rightarrow Α$$

Άρα θα διανύσει απόσταση:

$$(1+1)+(4+4)+(7+7)=24\ \text{μέτρα}$$
Εφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:

$$(1+1)+(4+4)+(7+7)+...+(58+58)=$$ $$(1+4+7+...+58)+(1+4+7+...+58)=2S_{20}$$

Τελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:

$$2S_{20}=2\cdot \dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$ $$=20(1+58)$$ $$=20\cdot 59$$ $$=1.180\ \text{μέτρα}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).