Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36660	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36660
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει $20$ κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του $Α$ . Η πρώτη κυψέλη απέχει $1$ μέτρο από την αποθήκη $Α$ , η δεύτερη $4$ μέτρα από το $Α$ , η τρίτη $7$ μέτρα από το $Α$ και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη $Α$ , $3$ επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.

α) Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη $Α$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;
(Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη $Α$ είναι η $20 η$ κυψέλη;
(Μονάδες 6)

γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη συλλέγει το μέλι, από μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει στην αποθήκη $Α$ .

Ποια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την $3 η$ κυψέλη;
(Μονάδες 6)
Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις $20$ κυψέλες;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Οι αποστάσεις $(α_{i}), i = 1, 2, 3, . . ., 20$ των κυψελών $K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}, . . ., K_{20}$ από την αποθήκη $Α$ διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό $3$ . Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $α_{1} = 1$ (η απόσταση της κυψέλης $Κ_{1}$ από την αποθήκη $Α$ ) και διαφορά $ω = 3$ (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:

$α_{ν} = α_{1} + (ν - 1) ω$ $= 1 + (ν - 1) 3$ $= 3 ν - 2$

β) Αναζητούμε τον όρο $α_{20}$ . Είναι:

$α_{20} = 3 \cdot 20 - 2 = 58 m$

γ)

Η διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:

$Α \to Κ_{1} \to Α$ $Α \to Κ_{2} \to Α$ $Α \to Κ_{3} \to Α$

Άρα θα διανύσει απόσταση:

$(1 + 1) + (4 + 4) + (7 + 7) = 24 μέτρα$
Εφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:

$(1 + 1) + (4 + 4) + (7 + 7) + . . . + (58 + 58) =$ $(1 + 4 + 7 + . . . + 58) + (1 + 4 + 7 + . . . + 58) = 2 S_{20}$

Τελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:

$2 S_{20} = 2 \cdot \frac{20}{2} (α_{1} + α_{20})$ $= 20 (1 + 58)$ $= 20 \cdot 59$ $= 1.180 μέτρα$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).