Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36661	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36661
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση $(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0$, $(1)$ με παράμετρο $λ\in \mathbb{R}$.

α) Να βρείτε τις τιμές του $λ\in \mathbb{R}$, για τις οποίες η $(1)$ είναι εξίσωση $2ου$ βαθμού.
(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του $λ\in \mathbb{R}$ που βρήκατε στο ερώτημα (α) η $(1)$ παίρνει τη μορφή: $λx^{2}-(λ+1)x+1=0$.
(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του $λ$ που βρήκατε στο ερώτημα (α) η $(1)$ έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 7)

δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της $(1)$, αν αυτή είναι $2ου$ βαθμού.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση $(1)$ είναι $2ου$ βαθμού, αν και μόνο αν:

$$λ^{2}-λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 0 \ \text{και}\ λ\ne 1$$

β) Με $λ\ne 0$ και $λ\ne 1$ έχουμε:

$$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)x^{2}-(λ-1)(λ+1)x+λ-1=0$$ $$\overset{λ\ne 1}{\Leftrightarrow }λx^{2}-(λ+1)x+1=0$$

που είναι το ζητούμενο.

γ) Με $λ\ne 0$ και $λ\ne 1$ η εξίσωση $λx^{2}-(λ+1)x+1=0$ έχει διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=[-(λ+1)]^{2}-4\cdot λ\cdot 1$$ $$=λ^{2}+2λ+1-4λ$$ $$=(λ-1)^{2}>0$$

Επομένως η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

δ) Οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$ είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm \sqrt{(λ-1)^{2}}}{2λ}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm (λ-1)}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{λ+1+λ-1}{2λ}=1 \\ \\ \dfrac{λ+1-λ+1}{2λ}=\dfrac{1}{λ} \end{cases}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).