Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36663 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36663 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου \(Α\) με πλευρά \(d \ cm\) ή πλακάκια τύπου \(Β\) με πλευρά \((d+1)\ cm\).
α) Να βρείτε ως συνάρτηση του \(d\), το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \(Α\) και κάθε πλακάκι τύπου \(Β\).
(Μονάδες 6)
β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με \(200\) πλακάκια τύπου \(Α\) είτε με \(128\) τύπου \(Β\), να βρείτε:
Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου.
(Μονάδες 12)Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \(Α\) είναι \(E_{A}=d^{2}\ cm^{2}\).
Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \(Β\) είναι \(E_{B}=(d+1)^{2}\ cm^{2}\).
β)
Αν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι \(Ε\), τότε ισχύει:
$$E=200d^{2}$$
και:
$$E=128(d+1)^{2}$$
οπότε έχουμε:
$$200d^{2}=128(d+1)^{2} $$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d+1)^{2}$$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d^{2}+2d+1) $$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16d^{2}+32d+16$$ $$\Leftrightarrow 9d^{2}-32d-16=0$$
Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-32)^{2}-4\cdot 9\cdot (-16)$$ $$=1024+576$$ $$=1600=40^{2}$$
και ρίζες τους αριθμούς \(d_{1}=4\) και \(d_{2}=-\dfrac{4}{9}\). Η λύση \(d_{2}=-\dfrac{4}{9}\) απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα \(d=4\), οπότε κάθε πλακάκι τύπου \(Α\) έχει πλευρά \(4\) και κάθε πλακάκι τύπου \(Β\) έχει πλευρά \(5\).
Είναι:
$$E=200d^{2}$$ $$=200\cdot 4^{2}$$ $$=200\cdot 16$$ $$=3.200\ cm^{2}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).