Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36663	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36663
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου $Α$ με πλευρά $d c m$ ή πλακάκια τύπου $Β$ με πλευρά $(d + 1) c m$ .

α) Να βρείτε ως συνάρτηση του $d$ , το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου $Α$ και κάθε πλακάκι τύπου $Β$ .
(Μονάδες 6)

β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με $200$ πλακάκια τύπου $Α$ είτε με $128$ τύπου $Β$ , να βρείτε:

Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου.
(Μονάδες 12)
Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου $Α$ είναι $E_{A} = d^{2} c m^{2}$ .

Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου $Β$ είναι $E_{B} = (d + 1)^{2} c m^{2}$ .

β)

Αν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι $Ε$ , τότε ισχύει:

$E = 200 d^{2}$

και:

$E = 128 (d + 1)^{2}$

οπότε έχουμε:

$200 d^{2} = 128 (d + 1)^{2}$ $\Leftrightarrow 25 d^{2} = 16 (d + 1)^{2}$ $\Leftrightarrow 25 d^{2} = 16 (d^{2} + 2 d + 1)$ $\Leftrightarrow 25 d^{2} = 16 d^{2} + 32 d + 16$ $\Leftrightarrow 9 d^{2} - 32 d - 16 = 0$

Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 32)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 16)$ $= 1024 + 576$ $= 1600 = 40^{2}$

και ρίζες τους αριθμούς $d_{1} = 4$ και $d_{2} = - \frac{4}{9}$ . Η λύση $d_{2} = - \frac{4}{9}$ απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα $d = 4$ , οπότε κάθε πλακάκι τύπου $Α$ έχει πλευρά $4$ και κάθε πλακάκι τύπου $Β$ έχει πλευρά $5$ .
Είναι:

$E = 200 d^{2}$ $= 200 \cdot 4^{2}$ $= 200 \cdot 16$ $= 3.200 c m^{2}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).