Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36669	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36669
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι ανισώσεις: $2 \leq | x | \leq 3$ και $x^{2} - 4 x < 0$ .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους.
(Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για $x \in [2, 3]$ .
(Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθμοί $ρ_{1}$ και $ρ_{2}$ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός $\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2}$ είναι κοινή τους λύση.
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$2 \leq | x | \leq 3 \Leftrightarrow$ $2 \leq | x | (1)$ $και | x | \leq 3 (2)$

Από την ανίσωση $(1)$ βρίσκουμε:

$2 \leq | x |$ $\Leftrightarrow x \geq 2 ή x \leq - 2 (3)$

Από την ανίσωση $(2)$ βρίσκουμε:

$| x | \leq 3$ $\Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3 (4)$

Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων $(3)$ και $(4)$ στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα
που ακολουθεί:

Οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: $x \in [- 3, - 2] \cup [2, 3] (5)$ .

Το τριώνυμο $x^{2} - 4 x$ έχει ρίζες τις $0$ και $4$ αφού:

$x^{2} - 4 x = 0$ $\Leftrightarrow x (x - 4) - 0$ $\Leftrightarrow x = 0 ή x = 4$

Το πρόσημο του τριωνύμου $x^{2} - 4 x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: $x^{2} - 4 x < 0 \Leftrightarrow x \in (0, 4) (6)$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων $(5)$ και $(6)$ στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: $x \in [2, 3]$

γ) Επειδή $ρ_{1}, ρ_{2} \in [2, 3]$ ισχύει ότι:

$2 \leq ρ_{1} \leq 3 (7)$ $και 2 \leq ρ_{2} \leq 3 (8)$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις $(7)$ και $(8)$ και βρίσκουμε:

$2 + 2 \leq ρ_{1} + ρ_{2} \leq 3 + 3$ $\Leftrightarrow 4 \leq ρ_{1} + ρ_{2} \leq 6$ $\Leftrightarrow \frac{4}{2} \leq \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2} \leq \frac{6}{2}$ $\Leftrightarrow 2 \leq \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2} \leq 3$

Άρα $\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2} \in [2, 3]$ , οπότε και ο αριθμός $\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2}$ είναι κοινή τους λύση.

Σημείωση: Ο αριθμός $\frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{2}$ εκφράζει το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αριθμούς $ρ_{1}, ρ_{2}$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).