Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36670	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36670
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 31-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι ανισώσεις $| x + 1 | \leq 2$ και $x^{2} - x - 2 > 0$ .

α) Να λύσετε τις ανισώσεις.
(Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για $x \in [- 3, - 1)$ .
(Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθμοί $ρ_{1}$ και $ρ_{2}$ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι: $ρ_{1} - ρ_{2} \in (- 2, 2)$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$| x + 1 | \leq 2$ $\Leftrightarrow - 2 \leq x + 1 \leq 2$ $\Leftrightarrow - 2 - 1 \leq x + 1 - 1 \leq 2 - 1$ $\Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 1 (1)$

Το τριώνυμο $x^{2} - x - 2$ έχει $α = 1$ , $β = - 1$ , $γ = - 2$ και διακρίνουσα:

$Δ = β^{2} - 4 α γ$ $= (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)$ $= 1 + 8 = 9$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1,2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 α}$ $= \frac{- (- 1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{1 \pm 3}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \end{cases}$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει:

$x^{2} - x - 2 > 0$ $\Leftrightarrow x \in (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty) (2)$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων $(1)$ και $(2)$ στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: $x \in [- 3, - 1)$ .

γ) Επειδή $ρ_{1}, ρ_{2} \in [- 3, - 1)$ ισχύει ότι:

$- 3 \leq ρ_{1} < - 1 (3)$

και:

$- 3 \leq ρ_{2} < - 1$ $\Leftrightarrow 3 \geq - ρ_{2} > 1$ $\Leftrightarrow 1 < - ρ_{2} \leq 3 (4)$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις $(3)$ και $(4)$ και βρίσκουμε:

$- 3 + 1 < ρ_{1} - ρ_{2} < 1 + 1$ $\Leftrightarrow - 2 < ρ_{1} - ρ_{2} < 2$

Άρα $ρ_{1} - ρ_{2} \in (- 2, 2)$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).