Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36674	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36674
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς $3, 7, 11, 15, . . .$ και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το $4$ . Σταματάει όταν έχει γράψει τους $40$ πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

β) Να βρείτε το άθροισμα των $40$ αυτών αριθμών.
(Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθμός $120$ ένας από αυτούς τους $40$ αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός $235$ . Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το $4$ , οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με $α_{1} = 3$ και $ω = 4$ .

β) Είναι:

$S_{40} = \frac{[2 \cdot 3 + (40 - 1) \cdot 4] \cdot 40}{2}$ $= (6 + 39 \cdot 4) \cdot 20 = 3240$

γ) Για να είναι ο αριθμός $120$ ένας από τους $40$ αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός $ν$ , ώστε:

$α_{ν} = 120$ $\Leftrightarrow 3 + (ν - 1) \cdot 4 = 120$ $\Leftrightarrow 3 + 4 ν - 4 = 120$ $\Leftrightarrow 4 ν = 121$ $\Leftrightarrow ν = \frac{121}{4}$

Ο αριθμός $\frac{121}{4}$ δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός $120$ να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.

δ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός $235$ . Είναι:

$α_{ν} = 235$ $\Leftrightarrow 3 + (ν - 1) \cdot 4 = 235$ $\Leftrightarrow 3 + 4 ν - 4 = 235$ $\Leftrightarrow 4 ν = 236$ $\Leftrightarrow ν = 59$

Είναι:

$S_{59} = \frac{(α_{1} + α_{59}) \cdot 59}{2}$ $= \frac{(3 + 235) \cdot 59}{2} = 7021$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$S = S_{59} - S_{40}$ $= 7021 - 3240 = 3781$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).