Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36674	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36674
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς $3, 7, 11, 15,...$ και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το $4$. Σταματάει όταν έχει γράψει τους $40$ πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

β) Να βρείτε το άθροισμα των $40$ αυτών αριθμών.
(Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθμός $120$ ένας από αυτούς τους $40$ αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός $235$. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το $4$, οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με $α_1 = 3$ και $ω = 4$.

β) Είναι:

$$S_{40}=\dfrac{[2\cdot 3+(40-1)\cdot 4]\cdot 40}{2}$$ $$=(6+39\cdot 4)\cdot 20=3240$$

γ) Για να είναι ο αριθμός $120$ ένας από τους $40$ αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός $ν$, ώστε:

$$α_{ν}=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=120 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=121 $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{121}{4}$$

Ο αριθμός $\dfrac{121}{4}$ δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός $120$ να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.

δ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός $235$. Είναι:

$$α_{ν}=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=235 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=236 $$ $$\Leftrightarrow ν=59$$

Είναι:

$$S_{59}=\dfrac{(α_{1}+α_{59})\cdot 59}{2}$$ $$=\dfrac{(3+235)\cdot 59}{2}=7021$$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$$S=S_{59}-S_{40}$$ $$=7021-3240=3781$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).