Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36675 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36675
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση x2−4x+2−λ2=0   (1) με παράμετρο λ∈R.

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ∈R, η (1) έχει δύο ρίζες άνισες.
(Μονάδες 10)

β) Αν x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1), τότε:

  1. Να βρείτε το S=x1+x2.
  2. Να βρείτε το P=x1⋅x2 ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ.

(Μονάδες 5)

γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2+3 τότε:

  1. να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2−3,
  2. να βρείτε τον αριθμό λ.

(Μονάδες 10)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο: x2−4x+2−λ2 έχει α=1, β=−4, γ=2−λ2 και διακρίνουσα:

Δ=β2−4αγ =(−4)2−4⋅1⋅(2−λ2) =16−8+4λ2 =8+4λ2

Είναι Δ=8+4λ2>0 για κάθε λ∈R οπότε η εξίσωση x2−4x+2−λ2=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ∈R.

β) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε

  1. S=x1+x2=−βα=−−41=4

  2. P=x1⋅x2=γα=2−λ21=2−λ2

γ) Έστω x1=2+3 και x2 η ζητούμενη ρίζα. Τότε:

  1. Από το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:

x1+x2=4 ⇔2+3+x2=4 ⇔x2=4−2−3 ⇔x2=2−3

  1. Από το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:

x1⋅x2=2−λ2 ⇔(2+3)(2−3)=2−λ2 ⇔22−32=2−λ2 ⇔4−3=2−λ2 ⇔λ2=1 ⇔λ=±1

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).