Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36676	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36676
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = α x - α + 2$ και $g (x) = x^{2} - α + 3$ με $α \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1, 2)$ για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού $α$ .
(Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ τέμνονται σε σημείο με τετμημένη $1$ , τότε:

Να αποδείξετε ότι $α = 2$ .
(Μονάδες 4)
Για $α = 2$ υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $x^{2} - α x + 1 = 0$ και στη συνέχεια ότι για $α = 3$ , $α = - 2$ , $α = 1$ έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημεία τομής.
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $Α (1, 2)$ αν και μόνο αν $f (1) = 2$ .

Είναι $f (1) = α \cdot 1 - α + 2 = 2$ για κάθε $α \in R$ , οπότε πράγματι η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1, 2)$ για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού $α$ .

β) Αφού οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ τέμνονται σε σημείο με τετμημένη $1$ , ισχύει ότι: $f (1) = g (1)$ .

Είναι

$f (1) = g (1)$ $\Leftrightarrow α - α + 2 = 1^{2} - α + 3$ $\Leftrightarrow α = 2$

Για $α = 2$ έχουμε $f (x) = 2 x - 2 + 2 = 2 x$ και $g (x) = x^{2} - 2 + 3 = x^{2} + 1$

Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το $Α = R$ και η $g$ το $Β = R$ . Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_{f}$ και $C_{g}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f (x) = g (x)$ . Είναι:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow 2 x = x^{2} + 1$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0$ $\Leftrightarrow x = 1$

Επομένως δεν υπάρχει άλλο κοινό σημείο εκτός από αυτό με τετμημένη $1$ .

γ) Το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow α x - α + 2 = x^{2} - α + 3$ $\Leftrightarrow x^{2} - α x + 1 = 0$

Η παραπάνω εξίσωση είναι 2ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσάς της:

$Δ = (- α)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = α^{2} - 4$

Για $α = 3$ είναι $Δ = 3^{2} - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$ οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.

Για $α = - 2$ είναι $Δ = (- 2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ οπότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο.

Για $α = 1$ είναι $Δ = 1^{2} - 4 = 1 - 4 = - 3 < 0$ οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).