Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36677	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36677
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται:

Για το πρόγραμμα $Α$ πρέπει να καταθέσει τον $1 ο$ μήνα $1$ ευρώ, το $2 ο$ μήνα $2$ ευρώ, τον $3 ο$ μήνα $4$ ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.

Για το πρόγραμμα $Β$ πρέπει να καταθέσει τον $1 ο$ μήνα $100$ ευρώ, το $2 ο$ μήνα $110$ ευρώ, τον $3 ο$ μήνα $120$ ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά $10$ ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.

α) Να βρείτε:

το ποσό $α_{ν}$ που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον $ν^{ο}$ (νιοστό) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ .
(Μονάδες 4)
το ποσό $β_{ν}$ που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον $ν^{ο}$ μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ .
(Μονάδες 4)
το ποσό $Α_{ν}$ που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ .
(Μονάδες 5)
το ποσό $Β_{ν}$ που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ .
(Μονάδες 5)

β)

Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους $6$ μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα;
(Μονάδες 3)
Αν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε $12$ μήνες, με ποιο από τα δύο προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;
(Μονάδες 4)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι:

το πρόγραμμα $Α$ περιγράφεται από μια γεωμετρική πρόοδο με $α_{1} = 1$ , $α_{2} = 2$ , $α_{3} = 4$ και $λ = 2$ . Ισχύει επομένως ότι:

$α_{ν} = α_{1} \cdot λ^{1}$ $= 1 \cdot 2^{1} = 2^{1}$

το πρόγραμμα $Β$ περιγράφεται από μια αριθμητική πρόοδο με $β_{1} = 100$ , $β_{2} = 110$ , $β_{3} = 120$ και $ω = 10$ . Ισχύει επομένως ότι:

$β_{ν} = β_{1} + (ν - 1) \cdot ω$ $= 100 + (ν - 1) \cdot 10$ $= 100 + 10 ν - 10$ $= 10 ν + 90$

Το ποσό που θα υπάρχει μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ θα είναι:

$Α_{ν} = α_{1} \cdot \frac{λ^{ν} - 1}{λ - 1}$ $= 1 \cdot \frac{2^{ν} - 1}{2 - 1}$ $= 2^{ν} - 1$

Το ποσό που θα υπάρχει μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ θα είναι:

$Β_{ν} = \frac{(β_{1} + β_{ν}) \cdot ν}{2}$ $= \frac{(100 + 10 ν + 90) \cdot ν}{2}$ $= \frac{(10 ν + 190) \cdot ν}{2}$ $= \frac{10 ν^{2} + 190 ν}{2}$ $= 5 ν^{2} + 95 ν$

β)

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ , μετά από $6$ μήνες, είναι:

$Α_{6} = 2^{6} - 1 = 63 ευρώ$

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ , μετά από $6$ μήνες, είναι:

$Β_{6} = 5 \cdot 6^{2} + 95 \cdot 6 = 180 + 570 = 750 ευρώ$
Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ , μετά από $12$ μήνες, είναι:

$Α_{12} = 2^{12} - 1 = 4095 ευρώ$

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ , μετά από $12$ μήνες:

$Β_{12} = 5 \cdot 12^{2} + 95 \cdot 12 = 720 + 1140 = 1860 ευρώ$

Επομένως, ακολουθώντας το πρόγραμμα $Α$ , θα έχει συγκεντρώσει μεγαλύτερο ποσό.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).