Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36678	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36678
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την ανίσωση $x^{2} < x$ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 8)

β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός $α$ με $0 < α < 1$ .

Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο,τους αριθμούς:

$0, 1, α, α^{2}, \sqrt{α}$

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).
(Mονάδες 10)

Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα $\sqrt{1 + α} < 1 + \sqrt{α}$ .
(Mονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι $x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2} - x < 0$ .

Το πολυώνυμο $x^{2} - x$ έχει ρίζες τις $0$ και $1$ αφού:

$x^{2} - x = 0$ $\Leftrightarrow x (x - 1) = 0$ $\Leftrightarrow x = 0 ή x = 1$

Το πρόσημο του $x^{2} - x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: $x^{2} - x < 0 \Leftrightarrow x \in (0, 1)$ .

β)

Αφού $0 < α < 1$ με βάση το α) έχουμε ότι $α^{2} < α$ .

Επίσης $α \neq 0$ οπότε $α^{2} > 0$ .

Τέλος αφού $0 < α < 1$ είναι και $0 < \sqrt{α} < 1$ οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: ${\sqrt{α}}^{2} < \sqrt{α} \Rightarrow α < \sqrt{α}$ .

Συνεπώς: $0 < α^{2} < α < \sqrt{α} < 1$ .
Ισοδύναμα βρίσκουμε:

$\sqrt{1 + α} < 1 + \sqrt{α}$ $\Leftrightarrow {\sqrt{1 + α}}^{2} < (1 + \sqrt{α})^{2}$ $\Leftrightarrow 1 + α < 1 + 2 \sqrt{α} + α$ $\Leftrightarrow 0 < 2 \sqrt{α}$

που ισχύει για κάθε $α > 0$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).