Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36678	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36678
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε την ανίσωση $x^{2}<x$ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 8)

β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός $α$ με $0<α<1$.

Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο,τους αριθμούς:

$$0,1,α,α^{2},\sqrt{α}$$

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α).
(Mονάδες 10)

Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα $\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α}$.
(Mονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι $x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2}-x < 0$.

Το πολυώνυμο $x^{2}-x$ έχει ρίζες τις $0$ και $1$ αφού:

$$x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=1$$

Το πρόσημο του $x^{2}-x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: $x^{2}-x<0 \Leftrightarrow x\in (0,1)$.

β)

Αφού $0<α<1$ με βάση το α) έχουμε ότι $α^{2}<α$.

Επίσης $α\ne 0$ οπότε $α^{2}>0$.

Τέλος αφού $0<α<1$ είναι και $0<\sqrt{α}<1$ οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: $\sqrt{α}^{2}<\sqrt{α} \Rightarrow α<\sqrt{α}$.

Συνεπώς: $0<α^{2}<α<\sqrt{α}<1$.
Ισοδύναμα βρίσκουμε:

$$\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α} $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1+α}^{2}<(1+\sqrt{α})^{2} $$ $$\Leftrightarrow 1+α<1+2\sqrt{α}+α $$ $$\Leftrightarrow 0<2\sqrt{α}$$

που ισχύει για κάθε $α>0$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).