Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36679	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36679
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = \frac{x^{2} - 5 | x | + 6}{| x | - 3}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού $Α$ της $f$ .
(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in Α$ ισχύει $f (x) = | x | - 2$ .
(Μονάδες 9)

γ) Για $x \in Α$ , να λύσετε την εξίσωση $(f (x) + 2)^{2} - 4 f (x) - 5 = 0$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Πρέπει:

$| x | - 3 \neq 0$ $\Leftrightarrow | x | \neq 3$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 3 \\ και \\ x \neq - 3 \end{cases}$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το $Α = R - {3, - 3}$ .

β) Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση:

$x^{2} - 5 | x | + 6 = | x |^{2} - 5 | x | + 6$

Θέτουμε $| x | = y (1)$ και η παράσταση $| x |^{2} - 5 | x | + 6$ γίνεται: $y^{2} - 5 y + 6$

Το τριώνυμο $y^{2} - 5 y + 6$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6$ $= 25 - 24 = 1 > 0$

και ρίζες τις:

$y_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} y_{1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ y_{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{cases}$

Έτσι το τριώνυμο $y^{2} - 5 y + 6$ γίνεται:

$y^{2} - 5 y + 6 = (y - 2) (y - 3)$

και επομένως:

$| x |^{2} - 5 | x | + 6 = (| x | - 2) (| x | - 3)$

Τελικά ο τύπος της $f$ γίνεται:

$f (x) = \frac{x^{2} - 5 | x | + 6}{| x | - 3}$ $= \frac{(| x | - 2) (| x | - 3)}{| x | - 3} = | x | - 2$

για κάθε $x \in Α = R - {3, - 3}$ .

γ) Η εξίσωση $(f (x) + 2)^{2} - 4 f (x) - 5 = 0$ με $f (x) = | x | - 2$ γράφεται:

$(| x | - 2 + 2)^{2} - 4 (| x | - 2) - 5 = 0$ $\Leftrightarrow | x |^{2} - 4 | x | + 8 - 5 = 0$ $\Leftrightarrow | x |^{2} - 4 | x | + 3 = 0$

Θέτουμε $| x | = z (2)$ και βρίσκουμε:

$z^{2} - 4 z + 3 = 0$

Το τριώνυμο $z^{2} - 4 z + 3$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3$ $= 16 - 12 = 4 > 0$

και ρίζες τις:

$z_{1,2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} z_{1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ z_{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{cases}$

Τότε από την ισότητα $(2)$ βρίσκουμε:

$z = 3$ $\Leftrightarrow | x | = 3$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ x = - 3 \end{cases}$

οι οποίες όμως απορρίπτονται αφού δεν ανήκουν στο $Α = R - {3, - 3}$ .

$z = 1$ $\Leftrightarrow | x | = 1$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ x = - 1 \end{cases}$

οι οποίες είναι δεκτές αφού ανήκουν στο $Α = R - {3, - 3}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).