Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36680	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36680
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις:

${\begin{cases} f (x) = x^{2} - 4 x + α \\ g (x) = α x - 5 \end{cases}, με α \in R$

α) Αν ισχύει $f (2) = g (2)$ , να βρείτε την τιμή του $α$ .
(Μονάδες 7)

β) Για $α = 1$ ,

να λύσετε την εξίσωση: $f (x) = g (x)$ .
(Μονάδες 8)
να λύσετε την ανίσωση: $f (x) \geq g (x)$ και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση: $| f (x) - g (x) | = f (x) - g (x)$ .
(Μονάδες 5 + 5 = 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού $f (2) = g (2)$ έχουμε ισοδύναμα

$f (2) = g (2)$ $\Leftrightarrow 2^{2} - 4 \cdot 2 + α = α \cdot 2 - 5$ $\Leftrightarrow 4 - 8 + α = 2 α - 5$ $\Leftrightarrow α - 2 α = - 4 + 8 - 5$ $\Leftrightarrow - α = - 1$ $\Leftrightarrow α = 1$

β) Για $α = 1$ έχουμε $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ και $g (x) = x - 5$ .

Η εξίσωση: $f (x) = g (x)$ γίνεται ισοδύναμα

$x^{2} - 4 x + 1 = x - 5$ $\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 1 - x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6$ $= 25 - 24 = 1 > 0$

και ρίζες τις:

$x_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{cases}$
Η ανίσωση: $f (x) \geq g (x)$ γίνεται ισοδύναμα

$x^{2} - 4 x + 1 \geq x - 5$ $\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 1 - x + 5 \geq 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ έχει ρίζες τις $x_{1} = 3$ και $x_{2} = 2$ και το πρόσημο του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον παραπάνω πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$ $\Leftrightarrow x \in (- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$

Από τη ιδιότητα $| α | = α \Leftrightarrow α \geq 0$ έχουμε ότι:

$| f (x) - g (x) | = f (x) - g (x)$ $\Leftrightarrow f (x) - g (x) \geq 0$ $\Leftrightarrow x \in (- \infty, 2] \cup [3, + \infty)$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).