Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36681 Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36681
Ύλη: 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023
ΘΕΜΑ 4

Για δεδομένο λR, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με:

f(x)=(λ+1)x2(λ+1)x+2 ,  xR

α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(0,2).
(Μονάδες 3)

β) Για λ=1, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
(Μονάδες 4)

γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Β(2,0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα xx και σε άλλο σημείο.
(Μονάδες 8)

δ) Για λ=1, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα xx.
(Μονάδες 10)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,2) για οποιαδήποτε τιμή του λ, αν και μόνο αν ισχύει ότι f(0)=2 για κάθε λR.

Πράγματι είναι f(0)=(λ+1)02(λ+1)0+2=2 για κάθε λR.

β) Για λ=1 ο τύπος της f γράφεται:

f(x)=(1+1)x2(1+1)x+2=2

Επομένως η γραφική παράσταση της f είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα xx που διέρχεται από το σημείο Α(0,2), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

γ) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Β(2,0) και επομένως ισχύει ότι f(2)=0. Είναι

f(2)=0 (λ+1)22(λ+1)2+2=0 4λ+42λ2+2=0 2λ=4 λ=2

Για λ=2 έχουμε:

f(x)=(2+1)x2(2+1)x+2 =x2+x+2

Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με τον xx είναι οι λύσεις της εξίσωσης

f(x)=0x2+x+2=0

Το τριώνυμο x2+x+2 έχει διακρίνουσα:

Δ=124(1)2 =1+8=9>0

και ρίζες τις:

x1,2=1±92(1) =1±32 {x1=1+32=22=1x2=132=42=2

Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx εκτός από το Β(2,0) και στο σημείο (1,0).

δ) Για λ=1 ο τύπος της f γράφεται:

f(x)=(1+1)x2(1+1)x+2 =2x22x+2 =2(x2x+1)

Το τριώνυμο x2x+1 έχει διακρίνουσα:

Δ=(1)2411 =14=3<0

οπότε για κάθε xR είναι ομόσημο του συντελεστή του x2, δηλαδή του α=1>0.

Επομένως για κάθε xR ισχύει ότι:

x2x+1>0 2(x2x+1)>0 f(x)>0

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα xx.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).