Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36682	Ύλη:	4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36682
Ύλη:	4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται η συνάρτηση $f (x) = x^{2} + x + 1$ , $x \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_{f}$ της συνάρτησης $f$ δεν τέμνει τον άξονα $x^{'} x$ .
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της $C_{f}$ που βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ .
(Μονάδες 10)

γ) Έστω $Μ (x, y)$ σημείο της $C_{f}$ . Αν για την τετμημένη $x$ του σημείου $Μ$ ισχύει: $| 2 x - 1 | < 3$ , τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^{2} + x + 1$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1$ $= 1 - 4 = - 3 < 0$

οπότε για κάθε $x \in R$ είναι ομόσημο του συντελεστή του $x^{2}$ , δηλαδή του $α = 1 > 0$ .

Επομένως για κάθε $x \in R$ ισχύει ότι:

$x^{2} + x + 1 > 0$ $\Leftrightarrow f (x) > 0$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα $x^{'} x$ και άρα δεν τέμνει τον $x^{'} x$ .

β) Οι τετμημένες των σημείων της $C_{f}$ που βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ είναι οι λύσεις της ανίσωσης:

$f (x) < 2 x + 3$ $\Leftrightarrow x^{2} + x + 1 < 2 x + 3$ $\Leftrightarrow x^{2} - x - 2 < 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - x - 2$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)$ $= 1 + 8 = 9 > 0$

και ρίζες τις:

$x_{1,2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{1 \pm 3}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \end{cases}$

Το πρόσημο του τριωνύμου $x^{2} - x - 2$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Συνεπώς:

$x^{2} - x - 2 < 0$ $\Leftrightarrow x \in (- 1, 2)$

γ) Αφού $| 2 x - 1 | < 3$ , έχουμε ισοδύναμα ότι:

$| 2 x - 1 | < 3$ $\Leftrightarrow - 3 < 2 x - 1 < 3$ $\Leftrightarrow - 3 + 1 < 2 x - 1 + 1 < 3 + 1$ $\Leftrightarrow - 2 < 2 x < 4$ $\Leftrightarrow - 1 < x < 2$

Αφού για την τετμημένη $x$ του σημείου $Μ$ ισχύει $- 1 < x < 2$ τότε, όπως δείξαμε στο ερώτημα β), το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).