Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36683	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36683
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με:

$f (x) = {\begin{cases} - x + 2, αν x < 0 \\ x + 2, αν x \geq 0 \end{cases}$

α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης $C_{f}$ της $f$ με τον άξονα $y^{'} y$ .
(Μονάδες 3)

β)
i) Να χαράξετε τη $C_{f}$ και την ευθεία $y = 3$ , και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους.
(Μονάδες 5)

ii) Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y^{'} y$ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 4)

γ)
i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $α$ , η ευθεία $y = α$ τέμνει τη $C_{f}$ σε δυο σημεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)

ii) Για τις τιμές του $α$ που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της $C_{f}$ με την ευθεία $y = α$ και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας.
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στον τύπο της $f$ , και συγκεκριμένα στον κλάδο $x + 2$ όπου $x = 0$ και βρίσκουμε: $f (0) = 0 + 2 = 2$ .

Άρα η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $y^{'} y$ στο σημείο $Μ (0, 2)$ .

β)
i)
Για $x = - 1$ είναι: $f (- 1) = - (- 1) + 2 = 1 + 2 = 3$ .
Για $x = - 2$ είναι: $f (- 2) = - (- 2) + 2 = 2 + 2 = 4$ .
Άρα η ημιευθεία $y = - x + 2$ διέρχεται από τα σημεία $Α (- 1, 3)$ και $Β (- 2, 4)$ .

Για $x = 1$ είναι: $f (1) = 1 + 2 = 3$ .
Για $x = 2$ είναι: $f (2) = 2 + 2 = 4$ .
Άρα η ημιευθεία $y = x + 2$ διέρχεται από τα σημεία $Γ (1, 3)$ και $Δ (2, 4)$ .

Η ευθεία $y = 3$ είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα $x^{'} x$ και διέρχεται από το σημείο $Ε (0, 3)$ .

Η γραφική παράσταση $C_{f}$ και η ευθεία $y = 3$ φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής της $C_{f}$ με την ευθεία $y = 3$ είναι τα $Α (- 1, 3)$ και $Γ (1, 3)$ .

ii) Τα σημεία $Α (- 1, 3)$ και $Γ (1, 3)$ έχουν αντίθετες τετμημένες και ίσες τεταγμένες. Άρα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y^{'} y$ .

γ)
i) Η ευθεία $y = α$ είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα $x^{'} x$ και διέρχεται από το σημείο $(0, α)$ . Όπως διαπιστώνουμε και από τα παρακάτω σχήματα, η ευθεία $y = α$ τέμνει τη $C_{f}$ σε δύο σημεία αν καιμόνο αν $α > 2$ .

ii) Ο τύπος της $f$ γράφεται: $f (x) = | x | + 2$ , $x \in R$ .

Οι τετμημένες των σημείων τομής της $C_{f}$ με την ευθεία $y = α$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$f (x) = α$ $\Leftrightarrow | x | + 2 = α$ $\Leftrightarrow | x | = α - 2$

Αν $α < 2 \Leftrightarrow α - 2 < 0$ η εξίσωση $| x | = α - 2$ είναι αδύνατη και επομένως η $C_{f}$ με την ευθεία $y = α$ δεν έχουν κοινά σημεία, όπως φαίνεται και στο τελευταίο σχήμα.

Αν $α = 2$ η εξίσωση $| x | = α - 2 \Leftrightarrow | x | = 0 \Leftrightarrow x = 0$ και επομένως η $C_{f}$ με την ευθεία $y = 2$ έχουν ένα κοινό σημείο το $(0, 2)$ όπως φαίνεται και στο προτελευταίο σχήμα.

Αν $α > 2$ η εξίσωση $| x | = α - 2 \Leftrightarrow x = α - 2$ ή $x = - α + 2$ δηλαδή δύο λύσεις διαφορετικές και επομένως η $C_{f}$ με την ευθεία $y = α$ έχουν δύο κοινά σημεία τα $(α - 2, α)$ και $(- α + 2, α)$ όπως φαίνεται και στα δύο πρώτα σχήματα.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).