Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36684	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36684
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ και $g$ , με $f (x) = x^{2} - 2 x$ και $g (x) = 3 x - 4$ , $x \in R$ .

α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από εκείνη της $g$ .
(Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής $y = α$ , $α < - 1$ , βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το $Α = R$ και η $g$ το $Β = R$ .
Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ , είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f (x) = g (x)$ . Είναι:

$f (x) = g (x)$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 3 x - 4$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 4$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4$ $= 25 - 16 = 9 > 0$

και ρίζες τις:

$x_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$ $= \frac{5 \pm 3}{2}$ $\Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ x_{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{cases}$

Για $x = 4$ έχουμε:

$g (4) = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$

Για $x = 1$ έχουμε:

$g (1) = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = - 1$

Συνεπώς τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ , είναι τα $Α (4, 8)$ και $Β (1, - 1)$ .

β) Τα διαστήματα για τα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από εκείνη της $g$ είναι εκείνα για τα οποία ισχύει: $f (x) < g (x)$ . Είναι:

$f (x) < g (x)$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x < 3 x - 4$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 4 < 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 4$ έχει και ρίζες τις $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 1$ και το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$x^{2} - 5 x + 4 < 0$ $\Leftrightarrow x \in (1, 4)$

γ) Kάθε ευθεία της μορφής $y = α$ , $α < - 1$ , βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$ , αν και μόνο αν ισχύει: $f (x) > α$ , για κάθε $α < - 1$ . Είναι:

$f (x) > α$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x > α$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - α > 0$

Το τριώνυμο $x^{2} - 2 x - α$ έχει διακρίνουσα:

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- α)$ $= 4 + 4 α < 0, για κάθε α < - 1$

οπότε για κάθε $x \in R$ είναι ομόσημο του συντελεστή του $x^{2}$ , δηλαδή του $α = 1 > 0$ .

Επομένως για κάθε $x \in R$ ισχύει ότι:

$x^{2} - 2 x - α > 0$ $\Leftrightarrow f (x) > α$

που σημαίνει ότι κάθε ευθεία της μορφής $y = α$ , $α < - 1$ , βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).