Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36777	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36777
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη $x$ και $y$ , για τα οποία ισχύουν:

$| x - 3 | \leq 2 και | y - 6 | \leq 4$

α) Να αποδείξετε ότι: $1 \leq x \leq 5$ και $2 \leq y \leq 10$ .
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε την μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις $2 x$ και $y$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Ισχύει ότι:

$| x - 3 | \leq 2$ $\Leftrightarrow - 2 \leq x - 3 \leq 2$ $\Leftrightarrow - 2 + 3 \leq x \leq 2 + 3$ $\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 5$

$| y - 6 | \leq 4$ $\Leftrightarrow - 4 \leq y - 6 \leq 4$ $\Leftrightarrow - 4 + 6 \leq y \leq 4 + 6$ $\Leftrightarrow 2 \leq y \leq 10$

β) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις $2 x$ και $y$ είναι $Π = 4 x + 2 y$ .

Από το α) ερώτημα έχουμε:

$1 \leq x \leq 5$ $\Leftrightarrow 1 \cdot 4 \leq 4 x \leq 5 \cdot 4$ $\Leftrightarrow 4 \leq 4 x \leq 20 (1)$

$2 \leq y \leq 10$ $\Leftrightarrow 2 \cdot 2 \leq 2 y \leq 10 \cdot 2$ $\Leftrightarrow 4 \leq 2 y \leq 20 (2)$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες $(1)$ και $(2)$ έχουμε:

$4 + 4 \leq 4 x + 2 y \leq 20 + 20$ $\Leftrightarrow 8 \leq Π \leq 40$

Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι $8$ , όταν $x = 1$ , $y = 2$ και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι $40$ , όταν $x = 5$ , $y = 10$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).