Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36778	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36778
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η παράσταση:

$Κ = \frac{\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}{x + 2} - \frac{\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}}{x - 3}$

α) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει o αριθμός $x$ , ώστε η παράσταση $Κ$ να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
(Μονάδες 12)

β) Αν $- 2 < x < 3$ , να αποδείξετε ότι η παράσταση $Κ$ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του $x$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Ισχύει ότι:

$Κ = \frac{\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}{x + 2} - \frac{\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}}{x - 3}$ $= \frac{\sqrt{(x + 2)^{2}}}{x + 2} - \frac{\sqrt{(x - 3)^{2}}}{x - 3}$ $= \frac{| x + 2 |}{x + 2} - \frac{| x - 3 |}{x - 3}$

Η παράσταση $Κ$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:

${\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Οπότε πρέπει $x \neq - 2, 3$ .

β) Ισχύει ότι: $- 2 < x < 3$ , οπότε $x + 2 > 0 και x - 3 < 0$ .

Άρα $| x + 2 | = x + 2$ και $| x - 3 | = - (x - 3)$ .

Οπότε:

$K = \frac{| x + 2 |}{x + 2} - \frac{| x - 3 |}{x - 3}$ $= \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{- (x - 3)}{x - 3}$ $= 1 + 1 = 2$

που είναι ανεξάρτητη του $x$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).