Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36778 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36778 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η παράσταση:
$$Κ=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}-\dfrac{\sqrt{x^{2}-6x+9}}{x-3}$$
α) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει o αριθμός \(x\), ώστε η παράσταση \(Κ\) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
(Μονάδες 12)
β) Αν \(-2 < x < 3\), να αποδείξετε ότι η παράσταση \(Κ\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \(x\).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
Λύση
α) Ισχύει ότι:
$$Κ=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}−\dfrac{\sqrt{x^{2}−6x+9}}{x−3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{(x+2)^{2}}}{x+2}−\dfrac{\sqrt{(x−3)^{2}}}{x−3}$$ $$=\dfrac{|x+2|}{x+2}−\dfrac{|x−3|}{x−3}$$
Η παράσταση \(Κ\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:
$$\begin{cases} x + 2 \ne 0 \\ x − 3 \ne 0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ne − 2 \\ x \ne 3 \end{cases}$$
Οπότε πρέπει \(x\ne −2,3\).
β) Ισχύει ότι: \(−2 < x < 3\), οπότε \(x+2 > 0\ \ \text{και}\ \ x−3 < 0\).
Άρα \(|x+2|=x+2\) και \(|x−3|=−(x−3)\).
Οπότε:
$$K=\dfrac{|x+2|}{x+2}−\dfrac{|x−3|}{x−3}$$ $$=\dfrac{x+2}{x+2}−\dfrac{−(x−3)}{x−3}$$ $$=1+1=2$$
που είναι ανεξάρτητη του \(x\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).