Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36894 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36894 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
α) Αν \(α<0\), να δείξετε ότι: \(α+\dfrac{1}{α}\le -2\).
(Μονάδες 15)
β) Αν \(α<0\), να δείξετε ότι: \(|α|+\left|\dfrac{1}{α}\right|\ge 2\).
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε ισοδύναμα:
$$α+\dfrac{1}{α}\le -2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{1}{α}\ge -2α$$ $$\Leftrightarrow α^{2}+1+2α\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (α+1)^{2}\ge 0\text{ , που ισχύει.}$$
β) Έχουμε ισοδύναμα:
$$|α|+\left|\dfrac{1}{α}\right|\ge 2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } -α-\dfrac{1}{α}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow α+\dfrac{1}{α}\le -2$$
που από το α) ερώτημα ισχύει για κάθε \(α<0\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).