Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36897	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36897
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

α) Να βρείτε το άθροισμα των $ν$ πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων $1$, $2$, $3$, ..., $ν$.
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσοι από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους έχουν άθροισμα $45$.
(Μονάδες13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η ακολουθία των $ν$ πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων $1$, $2$, $3$, ..., $ν$ είναι αριθμητική πρόοδος με $α_{1}=1$, $ω=1$ και $α_{ν}=ν$. Άρα το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων αυτής, είναι:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (α_{1}+α_{ν})$$

δηλαδή:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (1+ν)$$

β) Ψάχνουμε το πλήθος $ν$ των όρων που έχουν άθροισμα $45$, δηλαδή το $ν$ ώστε $S_{ν}=45$, δηλαδή $\dfrac{ν}{2}\cdot (1+ν)=45$, οπότε $ν\cdot (ν+1)=90$. Οι δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με $90$ είναι οι αριθμοί $9$ και $10$ (δηλαδή $ν=9$ και $ν+1=10$). Άρα το άθροισμα των $9$ πρώτων φυσικών αριθμών είναι ίσο με $45$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).