Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36897	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36897
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

α) Να βρείτε το άθροισμα των $ν$ πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων $1$ , $2$ , $3$ , ..., $ν$ .
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσοι από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους έχουν άθροισμα $45$ .
(Μονάδες13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η ακολουθία των $ν$ πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων $1$ , $2$ , $3$ , ..., $ν$ είναι αριθμητική πρόοδος με $α_{1} = 1$ , $ω = 1$ και $α_{ν} = ν$ . Άρα το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων αυτής, είναι:

$S_{ν} = \frac{ν}{2} \cdot (α_{1} + α_{ν})$

δηλαδή:

$S_{ν} = \frac{ν}{2} \cdot (1 + ν)$

β) Ψάχνουμε το πλήθος $ν$ των όρων που έχουν άθροισμα $45$ , δηλαδή το $ν$ ώστε $S_{ν} = 45$ , δηλαδή $\frac{ν}{2} \cdot (1 + ν) = 45$ , οπότε $ν \cdot (ν + 1) = 90$ . Οι δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με $90$ είναι οι αριθμοί $9$ και $10$ (δηλαδή $ν = 9$ και $ν + 1 = 10$ ). Άρα το άθροισμα των $9$ πρώτων φυσικών αριθμών είναι ίσο με $45$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).