Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36898 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36898 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
α) Αν \(α,β\in \mathbb{R}-\{0\}\), να δείξετε ότι:
$$\left|\dfrac{α}{β}\right|+\left|\dfrac{β}{α}\right|\ge 2\ \ \ \ (1)$$
(Μονάδες 15)
β) Πότε ισχύει η ισότητα στην \((1)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε ισοδύναμα:
$$\left|\dfrac{α}{β}\right|+\left|\dfrac{β}{α}\right|\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|}{|β|}+\dfrac{|β|}{|α|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|^{2}+|β|^{2}}{|α|\cdot |β|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}\ge 2|α|\cdot |β|$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}-2|α|\cdot |β|\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (|α|-|β|)^{2}\ge 0\ \ \ \text{που ισχύει}$$
β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:
$$|α|-|β|=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|=|β|$$
δηλαδή αν και μόνο αν \(α=β\) ή \(α=-β\) (δηλαδή όταν οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι ίσοι ή αντίθετοι).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).