Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36898	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36898
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

α) Αν $α, β \in R - {0}$ , να δείξετε ότι:

$| \frac{α}{β} | + | \frac{β}{α} | \geq 2 (1)$

(Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην $(1)$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$| \frac{α}{β} | + | \frac{β}{α} | \geq 2$ $\Leftrightarrow \frac{| α |}{| β |} + \frac{| β |}{| α |} \geq 2$ $\Leftrightarrow \frac{| α |^{2} + | β |^{2}}{| α | \cdot | β |} \geq 2$ $\Leftrightarrow | α |^{2} + | β |^{2} \geq 2 | α | \cdot | β |$ $\Leftrightarrow | α |^{2} + | β |^{2} - 2 | α | \cdot | β | \geq 0$ $\Leftrightarrow (| α | - | β |)^{2} \geq 0 που ισχύει$

β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

$| α | - | β | = 0$ $\Leftrightarrow | α | = | β |$

δηλαδή αν και μόνο αν $α = β$ ή $α = - β$ (δηλαδή όταν οι αριθμοί $α$ , $β$ είναι ίσοι ή αντίθετοι).

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).